$T^n = \mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n$ を $n$ 次元トーラスとし、写像 $f: T^n \rightarrow T^n$ を $f([x]) = [Ax + \alpha]$ で定義する。ここで、$A \in GL_n(\mathbb{Z})$ は行列式が $\pm 1$ の整数係数正則行列、$\alpha \in \mathbb{R}^n$ は任意のベクトル、$ [x] \in T^n$ は $x \in \mathbb{R}^n$ の同値類を表す。以下の問いに答える。 (1) $f$ が連続写像であることを示せ。 (2) $f$ は測度保存的（ルベーグ測度を保つ）かどうかを調べよ。 (3) $A$ の固有値がすべて $1$ のとき、$f$ の巡回軌道が稠密になるための $\alpha$ の条件を述べよ。 (4) $n=2$ の場合で、具体的な $A, \alpha$ を与えて、$f$ がエルゴード的であることを示せ。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

$T^n = \mathbb{R}^n / \mathbb{Z}^n$ を $n$ 次元トーラスとし、写像 $f: T^n \rightarrow T^n$ を $f([x]) = [Ax + \alpha]$ で定義する。ここで、$A \in GL_n(\mathbb{Z})$ は行列式が $\pm 1$ の整数係数正則行列、$\alpha \in \mathbb{R}^n$ は任意のベクトル、$[x] \in T^n$ は $x \in \mathbb{R}^n$ の同値類を表す。以下の問いに答える。

(1) $f$ が連続写像であることを示せ。

(2) $f$ は測度保存的（ルベーグ測度を保つ）かどうかを調べよ。

(3) $A$ の固有値がすべて $1$ のとき、$f$ の巡回軌道が稠密になるための $\alpha$ の条件を述べよ。

(4) $n=2$ の場合で、具体的な $A, \alpha$ を与えて、$f$ がエルゴード的であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) 連続性

射影 $\pi: \mathbb{R}^n \rightarrow T^n$ を $\pi(x) = [x]$ で定義すると、$\pi$ は連続である。写像 $g: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ を $g(x) = Ax + \alpha$ で定義すると、$A$ が線形写像であり、$\alpha$ が定数ベクトルなので、$g$ は連続である。すると、$f([x]) = [Ax + \alpha] = \pi(Ax + \alpha) = \pi(g(x))$ であるから、 $f \circ \pi = \pi \circ g$ が成り立つ。したがって、$f$ が連続であるためには、任意の開集合 $U \subset T^n$ に対して、$f^{-1}(U) = \{ [x] \in T^n | f([x]) \in U \}$ が $T^n$ で開集合となる必要がある。

$f^{-1}(U) = \{ [x] \in T^n | [Ax + \alpha] \in U \} = \pi ( g^{-1} ( \pi^{-1} (U)) )$

$\pi$ は連続なので $\pi^{-1}(U)$は開集合であり、$g$ も連続なので $g^{-1} ( \pi^{-1} (U))$ も開集合である。したがって、$f^{-1}(U)$ は $T^n$ で開集合となり、$f$ は連続である。

(2) 測度保存性

$A \in GL_n(\mathbb{Z})$ であり、$\det(A) = \pm 1$ なので、$A$ はルベーグ測度を保つ。つまり、任意の可測集合 $E \subset \mathbb{R}^n$ に対して、$m(AE) = |\det(A)|m(E) = m(E)$ が成り立つ。ただし、$m$ はルベーグ測度を表す。

$T^n$ 上のルベーグ測度を $\mu$ とすると、$\mu([E]) = m(E \cap [0,1)^n)$ となる。$f([x]) = [Ax + \alpha]$ であり、$A$ はルベーグ測度を保つので、

$\mu(f([E])) = \mu([AE + \alpha]) = m((AE + \alpha) \cap [0,1)^n) = m(AE \cap [-\alpha, 1-\alpha)^n) = m(E \cap A^{-1}[-\alpha, 1-\alpha)^n)$

ここで、$A^{-1} \in GL_n(\mathbb{Z})$ なので、$A^{-1}[-\alpha, 1-\alpha)^n$ は平行移動と整数格子 $\mathbb{Z}^n$ に関する不変性を持つ。したがって、$f$ は測度保存的である。

(3) 稠密条件

$A$ の固有値がすべて $1$ のとき、$A$ はユニポテント行列である。$f([x]) = [Ax + \alpha]$ の巡回軌道 $\{ f^k([x]) | k \in \mathbb{Z} \}$ が $T^n$ で稠密となるためには、$\alpha$ の成分が $\mathbb{Z}$ 上線形独立である必要がある。つまり、$k_1 \alpha_1 + \dots + k_n \alpha_n \in \mathbb{Z}$ となる整数 $k_1, \dots, k_n$ がすべて $0$ である場合に限る必要がある。

(4) エルゴード性 ($n=2$)

$n=2$ の場合で、$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ と $\alpha = (\sqrt{2}, \sqrt{3})^T$ を考える。$\det(A) = 2 - 1 = 1$ であり、$A \in GL_2(\mathbb{Z})$ である。

$f([x]) = [Ax + \alpha]$ がエルゴード的であるためには、$f$ が混合的であることが必要十分である。

$A$ の固有値は $\lambda_1 = \frac{3 + \sqrt{5}}{2} > 1$ と $\lambda_2 = \frac{3 - \sqrt{5}}{2} < 1$ であり、$A$ は双曲型である。また、$\alpha$ の成分 $\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ は無理数であり、$\mathbb{Q}$ 上線形独立である。したがって、$f$ はエルゴード的である。

(補足) エルゴード的であることは、ほとんどすべての初期点 $x$ に対して、その軌道が $T^2$ 上で稠密であることを意味する。

3. 最終的な答え

(1) $f$ は連続写像である。

(2) $f$ は測度保存的である。

(3) $A$ の固有値がすべて $1$ のとき、$f$ の巡回軌道が稠密になるための $\alpha$ の条件は、$\alpha$ の成分が $\mathbb{Z}$ 上線形独立であることである。

(4) $n=2$ の場合、$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ と $\alpha = (\sqrt{2}, \sqrt{3})^T$ を与えると、$f$ はエルゴード的である。