2つの直線 $ax - (a+1)y + 1 = 0$ と $ax - 4y + 1 = 0$ が、(1) 平行（一致する場合を含む）、(2) 一致、(3) 垂直であるときの、定数 $a$ の値をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

2つの直線 $ax - (a+1)y + 1 = 0$ と $ax - 4y + 1 = 0$ が、(1) 平行（一致する場合を含む）、(2) 一致、(3) 垂直であるときの、定数 $a$ の値をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、2つの直線が

$ax - (a+1)y + 1 = 0$

$ax - 4y + 1 = 0$

で与えられています。

(1) 平行（一致する場合を含む）の場合：

2つの直線が平行であるための条件は、それぞれの直線の傾きが等しいことです。

1つ目の直線の式を変形すると、

$(a+1)y = ax + 1$

$y = \frac{a}{a+1}x + \frac{1}{a+1}$

2つ目の直線の式を変形すると、

$4y = ax + 1$

$y = \frac{a}{4}x + \frac{1}{4}$

傾きが等しいので、

$\frac{a}{a+1} = \frac{a}{4}$

$4a = a(a+1)$

$4a = a^2 + a$

$a^2 - 3a = 0$

$a(a-3) = 0$

よって、$a = 0$ または $a = 3$

$a=0$のとき、2つの直線は$y=1$, $4y=1$となり、平行ではありません。

$a=3$のとき、2つの直線は$3x-4y+1=0$, $3x-4y+1=0$となり、一致します。

(2) 一致の場合：

2つの直線が一致するためには、傾きとy切片が両方とも等しくなければなりません。

傾きが等しいことは(1)で確認済みであり、$\frac{a}{a+1} = \frac{a}{4}$ で、y切片が等しい条件は $\frac{1}{a+1} = \frac{1}{4}$です。

この式から $a+1 = 4$ となり、$a = 3$ が得られます。

したがって、$a=3$のとき、2つの直線は一致します。

(3) 垂直の場合：

2つの直線が垂直であるための条件は、それぞれの直線の傾きの積が-1になることです。

$\frac{a}{a+1} \cdot \frac{a}{4} = -1$

$a^2 = -4(a+1)$

$a^2 + 4a + 4 = 0$

$(a+2)^2 = 0$

よって、$a = -2$

3. 最終的な答え

(1) 平行（一致する場合を含む）：$a = 3$

(2) 一致：$a = 3$

(3) 垂直：$a = -2$