648の正の約数の個数と、その約数の総和を求めよ。

1. 問題の内容

648の正の約数の個数と、その約数の総和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、648を素因数分解します。

$648 = 2 \times 324 = 2^2 \times 162 = 2^3 \times 81 = 2^3 \times 3^4$

したがって、$648 = 2^3 \times 3^4$ となります。

約数の個数は、素因数分解の結果の各指数の値に1を足したものを掛け合わせたものです。

したがって、約数の個数は $(3+1)(4+1)$ で計算できます。

約数の総和は、$(1 + 2 + 2^2 + 2^3)(1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4)$ で計算できます。

約数の個数:

$(3+1)(4+1) = 4 \times 5 = 20$

約数の総和:

$(1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9 + 27 + 81) = (15)(121) = 1815$

3. 最終的な答え

約数の個数：20

約数の総和：1815