集合 $A$, $B$, $C$, $D$ が与えられたとき、 (ア) $x \in B \cap D$ が $x \in \overline{A}$ であるための必要条件、十分条件を判定する。 (イ) $x \in (\overline{A} \cup B) \cap D$ が $x \in C$ であるための必要条件、十分条件を判定する。

1. 問題の内容

集合 $A$, $B$, $C$, $D$ が与えられたとき、

(ア) $x \in B \cap D$ が $x \in \overline{A}$ であるための必要条件、十分条件を判定する。

(イ) $x \in (\overline{A} \cup B) \cap D$ が $x \in C$ であるための必要条件、十分条件を判定する。

2. 解き方の手順

(ア)

まず、$A$, $B$, $C$, $D$ を具体的に書き出す。

$A = \{x \mid x^2 \geq 4\} = \{x \mid x \leq -2 \text{ or } x \geq 2 \}$

$B = \{x \mid 1 \leq x \leq 2\}$

$C = \{1, 2\}$

$D = \{-4, -2, 1, 2\}$

$\overline{A} = \{x \mid -2 < x < 2 \}$

$B \cap D = \{1, 2\}$

$x \in B \cap D$ ならば $x = 1$ または $x = 2$。

$x \in \overline{A}$ ならば $-2 < x < 2$。

$x \in B \cap D \implies x \in \overline{A}$ は真である。（$1, 2$ は $-2 < x < 2$ を満たす）

$x \in \overline{A} \implies x \in B \cap D$ は偽である。（例えば $x = 0$ は $-2 < x < 2$ を満たすが $B \cap D$ には含まれない）

したがって、$x \in B \cap D$ は $x \in \overline{A}$ であるための十分条件であるが必要条件ではない。

(イ)

$\overline{A} \cup B = \{ x \mid -2 < x < 2 \} \cup \{ x \mid 1 \leq x \leq 2 \} = \{ x \mid -2 < x \leq 2 \}$

$(\overline{A} \cup B) \cap D = \{-2, 1, 2\}$

$x \in (\overline{A} \cup B) \cap D$ ならば $x = -2, 1, 2$

$x \in C$ ならば $x = 1, 2$

$x \in (\overline{A} \cup B) \cap D \implies x \in C$ は偽である。 ($x=-2$は$(\overline{A} \cup B) \cap D$に含まれるが、$C$には含まれない。)

$x \in C \implies x \in (\overline{A} \cup B) \cap D$ は真である。( $x=1, 2$ は $(\overline{A} \cup B) \cap D$ に含まれる。)

したがって、$x \in (\overline{A} \cup B) \cap D$ は $x \in C$ であるための必要条件であるが、十分条件ではない。

3. 最終的な答え

ア: ①

イ: ⓪