$m, n$ は自然数とする。$m + n$ が素数であることは、$m, n$ がともに素数であるための何であるかを問う問題です。選択肢は、(1) 必要条件であるが十分条件ではない、(2) 十分条件であるが必要条件ではない、(3) 必要十分条件である、(4) 必要条件でも十分条件でもない、です。

1. 問題の内容

$m, n$ は自然数とする。$m + n$ が素数であることは、$m, n$ がともに素数であるための何であるかを問う問題です。選択肢は、(1) 必要条件であるが十分条件ではない、(2) 十分条件であるが必要条件ではない、(3) 必要十分条件である、(4) 必要条件でも十分条件でもない、です。

2. 解き方の手順

$P$: $m+n$ が素数である

$Q$: $m, n$ がともに素数である

$P \Rightarrow Q$ (十分条件)：

$m+n$ が素数ならば、$m, n$ がともに素数である。

これは成り立ちません。例えば、$m=4, n=3$ のとき、$m+n=7$ で素数ですが、$m=4$ は素数ではありません。

$Q \Rightarrow P$ (必要条件)：

$m, n$ がともに素数ならば、$m+n$ が素数である。

これも成り立ちません。例えば、$m=2, n=3$ のとき、$m, n$ はともに素数ですが、$m+n=5$ で素数です。しかし、$m=3, n=5$ のとき、$m, n$ はともに素数ですが、$m+n=8$ で素数ではありません。

したがって、$m+n$ が素数であることは、$m, n$ がともに素数であるための必要条件でも十分条件でもありません。

3. 最終的な答え

(4) 必要条件でも十分条件でもない