与えられた命題の対偶を作り、それを利用して元の命題の真偽を判定する。与えられた命題は「2つの実数 $x, y$ について、和が2以下または積が1以下ならば、$x, y$ の少なくとも一方は1以下である」というものである。

1. 問題の内容

与えられた命題の対偶を作り、それを利用して元の命題の真偽を判定する。与えられた命題は「2つの実数 $x, y$ について、和が2以下または積が1以下ならば、$x, y$ の少なくとも一方は1以下である」というものである。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題を $P \implies Q$ の形に書き換える。ここで

$P: x+y \le 2 \lor xy \le 1$

$Q: x \le 1 \lor y \le 1$

である。

対偶は $\lnot Q \implies \lnot P$ であるから、

$\lnot Q: x > 1 \land y > 1$

$\lnot P: x+y > 2 \land xy > 1$

したがって、対偶は「2つの実数 $x, y$ について、$x > 1$ かつ $y > 1$ ならば、$x+y > 2$ かつ $xy > 1$ である」となる。

対偶が真であることを示す。

$x > 1$ かつ $y > 1$ ならば、$x+y > 1+1 = 2$ であり、$xy > 1 \times 1 = 1$ である。したがって、$x+y > 2$ かつ $xy > 1$ である。

よって、対偶は真である。

対偶が真であれば、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

元の命題の対偶は「2つの実数 $x, y$ について、$x > 1$ かつ $y > 1$ ならば、$x+y > 2$ かつ $xy > 1$ である」であり、元の命題は真である。