三角形OABにおいて、辺ABを2:3に内分する点をL、辺OAの中点をMとする。線分OLと線分BMの交点をPとするとき、BP:PMを求めよ。

1. 問題の内容

三角形OABにおいて、辺ABを2:3に内分する点をL、辺OAの中点をMとする。線分OLと線分BMの交点をPとするとき、BP:PMを求めよ。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて解く。

$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とおく。

まず、点Lは辺ABを2:3に内分するので、

$\vec{OL} = \frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{2+3} = \frac{3}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}$

次に、点Pは線分OL上にあるので、実数 $s$ を用いて

$\vec{OP} = s\vec{OL} = s(\frac{3}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b}) = \frac{3s}{5}\vec{a} + \frac{2s}{5}\vec{b}$

と表せる。

一方、点Pは線分BM上にあるので、実数 $t$ を用いて

$\vec{OP} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OM}$

と表せる。MはOAの中点なので、$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$

したがって、

$\vec{OP} = (1-t)\vec{b} + t\frac{1}{2}\vec{a} = \frac{t}{2}\vec{a} + (1-t)\vec{b}$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は一次独立なので、係数を比較して

$\frac{3s}{5} = \frac{t}{2}$

$\frac{2s}{5} = 1-t$

これらの式を解く。

$t = \frac{6s}{5}$ を $\frac{2s}{5} = 1-t$ に代入して

$\frac{2s}{5} = 1 - \frac{6s}{5}$

$2s = 5 - 6s$

$8s = 5$

$s = \frac{5}{8}$

したがって、$t = \frac{6}{5}s = \frac{6}{5} \times \frac{5}{8} = \frac{3}{4}$

$\vec{OP} = (1-t)\vec{b} + t\vec{OM}$ より、$\vec{OP} = (1-\frac{3}{4})\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{OM} = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{OM}$

$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{b} + \frac{3}{4}\vec{OM}$ は、点Pが線分BMを3:1に内分することを示す。

したがって、BP:PM = 3:1

3. 最終的な答え

BP:PM = 3:1