直線 $x + 2y = 0$ に関して、点 $A(3, -4)$ と対称な点 $B$ の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $x + 2y = 0$ に関して、点 $A(3, -4)$ と対称な点 $B$ の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(x, y)$ とします。

ステップ1：線分 $AB$ の中点 $M$ が直線 $x + 2y = 0$ 上にあるという条件を使います。

$M$ の座標は $\left(\frac{x+3}{2}, \frac{y-4}{2}\right)$ です。

$M$ が直線 $x + 2y = 0$ 上にあるので、

$$\frac{x+3}{2} + 2 \cdot \frac{y-4}{2} = 0$$

$$x + 3 + 2(y - 4) = 0$$

$$x + 3 + 2y - 8 = 0$$

$$x + 2y - 5 = 0$$

$$x + 2y = 5 \qquad (1)$$

ステップ2：直線 $AB$ が直線 $x + 2y = 0$ と垂直であるという条件を使います。

直線 $AB$ の傾きは $\frac{y - (-4)}{x - 3} = \frac{y+4}{x-3}$ です。

直線 $x + 2y = 0$ の傾きは $-\frac{1}{2}$ です。

$AB$ と $x + 2y = 0$ が垂直なので、

$$\frac{y+4}{x-3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$$

$$\frac{y+4}{x-3} = 2$$

$$y + 4 = 2(x - 3)$$

$$y + 4 = 2x - 6$$

$$2x - y = 10 \qquad (2)$$

ステップ3：式 (1) と式 (2) を連立させて解きます。

$$x + 2y = 5 \qquad (1)$$

$$2x - y = 10 \qquad (2)$$

(2) $\times 2$ より、

$$4x - 2y = 20 \qquad (3)$$

(1) + (3) より、

$$x + 2y + 4x - 2y = 5 + 20$$

$$5x = 25$$

$$x = 5$$

これを (1) に代入して、

$$5 + 2y = 5$$

$$2y = 0$$

$$y = 0$$

したがって、$B$ の座標は $(5, 0)$ です。

3. 最終的な答え

$(5, 0)$