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三角形ABCの重心をGとするとき、以下の等式が成り立つことを示す。 (1) $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ (2) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG}$

幾何学ベクトル三角形重心ベクトル方程式
2025/6/1

1. 問題の内容

三角形ABCの重心をGとするとき、以下の等式が成り立つことを示す。
(1) GA→+GB→+GC→=0→\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}
(2) AB→+AC→=3AG→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG}

2. 解き方の手順

(1)
Gは三角形ABCの重心なので、位置ベクトルの定義より、
OG→=OA→+OB→+OC→3\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{3} が成り立つ。
ここで、Oを始点とする位置ベクトルで表したが、始点は任意に選んでよい。
この式を変形すると、
3OG→=OA→+OB→+OC→3\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}
0→=OA→−OG→+OB→−OG→+OC→−OG→\overrightarrow{0} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OG} + \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OG} + \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OG}
0→=GA→+GB→+GC→\overrightarrow{0} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}
よって、GA→+GB→+GC→=0→\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} が成り立つ。
(2)
(1)の結果より、GA→+GB→+GC→=0→\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}
この式を変形すると、
AG→=−(GA→)=GB→+GC→\overrightarrow{AG} = -(\overrightarrow{GA}) = \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}
AG→=−(GA→)=AB→−AG→+AC→−AG→\overrightarrow{AG} = -(\overrightarrow{GA}) = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AG}
3AG→=AB→+AC→3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}
よって、AB→+AC→=3AG→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG} が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) GA→+GB→+GC→=0→\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}
(2) AB→+AC→=3AG→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG}

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