平行四辺形ABCDにおいて、辺BCの中点をE、辺CD上の点でCF:FD = 3:2を満たす点をFとする。$\overrightarrow{AB}=\vec{a}, \overrightarrow{AD}=\vec{b}$ であるとき、$\overrightarrow{AE}=\vec{u}, \overrightarrow{AF}=\vec{v}$ をそれぞれ $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表す。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺BCの中点をE、辺CD上の点でCF:FD = 3:2を満たす点をFとする。$\overrightarrow{AB}=\vec{a}, \overrightarrow{AD}=\vec{b}$ であるとき、$\overrightarrow{AE}=\vec{u}, \overrightarrow{AF}=\vec{v}$ をそれぞれ $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$\overrightarrow{AE}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す。EはBCの中点なので、$\overrightarrow{BE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$。

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} = \vec{b}$ より、$\overrightarrow{BE} = \frac{1}{2}\vec{b}$。

したがって、

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

よって、$\vec{u} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

次に、$\overrightarrow{AF}$ を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ で表す。FはCDを5:3に内分する点なので、

$\overrightarrow{CF} = \frac{3}{5} \overrightarrow{CD}$

$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BA} = -\vec{a}$ より、$\overrightarrow{CF} = -\frac{3}{5}\vec{a}$

$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CF}$

$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \vec{a} + \vec{b}$

$\overrightarrow{AF} = \vec{a} + \vec{b} - \frac{3}{5}\vec{a} = \frac{2}{5}\vec{a} + \vec{b}$

よって、$\vec{v} = \frac{2}{5}\vec{a} + \vec{b}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{AE} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

$\overrightarrow{AF} = \frac{2}{5}\vec{a} + \vec{b}$