三角形ABCにおいて、辺ABの長さが3、角ABCが直角である。このとき、ベクトルABとベクトルACの内積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABの長さが3、角ABCが直角である。このとき、ベクトルABとベクトルACの内積を求める。

2. 解き方の手順

ベクトルABとベクトルACの内積は、以下のように計算できる。

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos{\angle BAC}$

三角形ABCは直角三角形であるため、ピタゴラスの定理が使える可能性がある。

しかし、辺ACの長さが不明であるため、別の方法を考える。

ベクトルACは、ベクトルABとベクトルBCの和として表すことができる。

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

したがって、内積は以下のように書き換えられる。

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot (\vec{AB} + \vec{BC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + \vec{AB} \cdot \vec{BC}$

$\vec{AB} \cdot \vec{AB}$は、ベクトルの大きさの二乗に等しい。 $|\vec{AB}|^2 = 3^2 = 9$

$\vec{AB}$と$\vec{BC}$は直角をなすので、内積は0になる。 $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 0$

したがって、$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 9 + 0 = 9$

3. 最終的な答え

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