3つの直線 $x - y = -1$, $x + y = 3$, $x + 2y = -1$ で囲まれてできる三角形について、以下の問いに答えます。 (1) 三角形の3つの頂点の座標を求めよ。 (2) 三角形の外接円の方程式を求めよ。 (3) 三角形の外接円の半径と、外心の座標を求めよ。

1. 問題の内容

3つの直線 $x - y = -1$, $x + y = 3$, $x + 2y = -1$ で囲まれてできる三角形について、以下の問いに答えます。

(1) 三角形の3つの頂点の座標を求めよ。

(2) 三角形の外接円の方程式を求めよ。

(3) 三角形の外接円の半径と、外心の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3つの直線の交点を求めることで、三角形の頂点の座標を求めます。

* $x - y = -1$ と $x + y = 3$ の交点を求めます。2式を足し合わせると $2x = 2$ より $x = 1$。これを $x + y = 3$ に代入すると $1 + y = 3$ より $y = 2$。よって交点は $(1, 2)$。

* $x - y = -1$ と $x + 2y = -1$ の交点を求めます。$x = y - 1$ を $x + 2y = -1$ に代入すると $y - 1 + 2y = -1$ より $3y = 0$。よって $y = 0$。これを $x = y - 1$ に代入すると $x = -1$。よって交点は $(-1, 0)$。

* $x + y = 3$ と $x + 2y = -1$ の交点を求めます。$x = 3 - y$ を $x + 2y = -1$ に代入すると $3 - y + 2y = -1$ より $y = -4$。これを $x = 3 - y$ に代入すると $x = 3 - (-4) = 7$。よって交点は $(7, -4)$。

(2) 外接円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおき、(1) で求めた3点の座標を代入して $a, b, c$ を求めます。

* 点 $(1, 2)$ を代入すると $1 + 4 + a + 2b + c = 0$ より $a + 2b + c = -5$。

* 点 $(-1, 0)$ を代入すると $1 + 0 - a + 0 + c = 0$ より $-a + c = -1$。

* 点 $(7, -4)$ を代入すると $49 + 16 + 7a - 4b + c = 0$ より $7a - 4b + c = -65$。

この3つの式を連立させて解きます。

* $-a + c = -1$ より $c = a - 1$。これを $a + 2b + c = -5$ に代入すると $a + 2b + a - 1 = -5$ より $2a + 2b = -4$ すなわち $a + b = -2$。

* $c = a - 1$ を $7a - 4b + c = -65$ に代入すると $7a - 4b + a - 1 = -65$ より $8a - 4b = -64$ すなわち $2a - b = -16$。

* $a + b = -2$ と $2a - b = -16$ を足し合わせると $3a = -18$ より $a = -6$。

* $a + b = -2$ に $a = -6$ を代入すると $-6 + b = -2$ より $b = 4$。

* $c = a - 1$ に $a = -6$ を代入すると $c = -6 - 1 = -7$。

よって、外接円の方程式は $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 7 = 0$。

(3) (2)で求めた外接円の方程式を $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ の形に変形することで、外心の座標 $(h, k)$ と半径 $r$ を求めます。

$x^2 + y^2 - 6x + 4y - 7 = 0$ を変形すると、

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 7$

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 7 + 9 + 4$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 20$

したがって、外心の座標は $(3, -2)$ で、半径は $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$。

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(1, 2)$, $(-1, 0)$, $(7, -4)$

(2) 外接円の方程式: $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 7 = 0$

(3) 外接円の半径: $2\sqrt{5}$, 外心の座標: $(3, -2)$