2つの円 $x^2 + y^2 = 25$ と $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 20$ の交点と原点を通る円の中心の座標と半径を求めよ。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 = 25$ と $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 20$ の交点と原点を通る円の中心の座標と半径を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの円の式をそれぞれ、$C_1 = x^2 + y^2 - 25 = 0$、$C_2 = (x-1)^2 + (y-2)^2 - 20 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 - 20 = x^2 + y^2 - 2x - 4y - 15 = 0$ とおく。

2つの円の交点を通る円の式は、実数 $k$ を用いて

$C_1 + kC_2 = 0$ と表せる。

$x^2 + y^2 - 25 + k(x^2 + y^2 - 2x - 4y - 15) = 0$

$(1+k)x^2 + (1+k)y^2 - 2kx - 4ky - 25 - 15k = 0$

この円が原点 $(0, 0)$ を通るので、

$-25 - 15k = 0$

$15k = -25$

$k = -\frac{5}{3}$

これを円の式に代入すると、

$(1 - \frac{5}{3})x^2 + (1 - \frac{5}{3})y^2 - 2(-\frac{5}{3})x - 4(-\frac{5}{3})y - 25 - 15(-\frac{5}{3}) = 0$

$-\frac{2}{3}x^2 - \frac{2}{3}y^2 + \frac{10}{3}x + \frac{20}{3}y - 25 + 25 = 0$

$-\frac{2}{3}x^2 - \frac{2}{3}y^2 + \frac{10}{3}x + \frac{20}{3}y = 0$

両辺に $-\frac{3}{2}$ をかけると、

$x^2 + y^2 - 5x - 10y = 0$

$(x - \frac{5}{2})^2 + (y - 5)^2 = (\frac{5}{2})^2 + 5^2 = \frac{25}{4} + 25 = \frac{25 + 100}{4} = \frac{125}{4}$

したがって、中心の座標は $(\frac{5}{2}, 5)$ であり、半径は $\sqrt{\frac{125}{4}} = \frac{5\sqrt{5}}{2}$。

3. 最終的な答え

中心の座標： $(\frac{5}{2}, 5)$

半径： $\frac{5\sqrt{5}}{2}$