A, A, B, B, C, C, D, Eの8個の文字すべてを1列に並べる場合の数を求める問題。 (1) 8個の文字の並べ方の総数を求める。 (2) DとEが隣り合うような並べ方の数を求める。 (3) C2個がとなり合い、それがDよりも左にあり、かつEがDよりも右にあるような並べ方の数を求める。

1. 問題の内容

A, A, B, B, C, C, D, Eの8個の文字すべてを1列に並べる場合の数を求める問題。

(1) 8個の文字の並べ方の総数を求める。

(2) DとEが隣り合うような並べ方の数を求める。

(3) C2個がとなり合い、それがDよりも左にあり、かつEがDよりも右にあるような並べ方の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 全体の並べ方

同じ文字を含む順列の公式を利用する。

8個の文字の中に、Aが2個、Bが2個、Cが2個あるので、全体の並べ方は、

$\frac{8!}{2!2!2!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 3 \times 1 = 5040$

(2) DとEが隣り合う場合

DとEをひとまとめにして1つの文字と考える。

すると、A, A, B, B, C, C, (DE)の7個の文字を並べることになる。

(DE)と(ED)の場合があるので、最後に2倍する。

7個の文字の中に、Aが2個、Bが2個、Cが2個あるので、並べ方は、

$\frac{7!}{2!2!2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1 \times 2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times 3 \times 1 = 630$

DとEの並び順が2通りあるので、

$630 \times 2 = 1260$

(3) C2個がとなり合い、それがDよりも左にあり、かつEがDよりも右にある場合

C, Cを1つの文字として扱う。Cが左端にある場合を考える。

C,CをXとする。

A,A,B,B,X,D,Eの7文字を考える。

Dより左にXがあり、Dより右にEがある。

X,D,Eの順番は固定されているので、X,D,E以外の4文字(A,A,B,B)を並べる。

X,D,Eの並び順はX _ D _ Eとなる。

この空欄にA,A,B,Bを並べる。

並び方の数は$\frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1 \times 2 \times 1} = 6$通り

X, D, Eの並び方を考える。7文字の並びで、X, D, Eの順序が決まっている。X, D, Eの位置の選び方は、${}_7 C_3$通り。ただし、XはDより左、EはDより右にある必要がある。

まず、XDEを1つの塊と見て、AAAAAを並べ、次にDとEを並べる並べ方を考える。

7個の文字（A, A, B, B, C C, D, E）を並べる。C Cは隣り合う。

(C C), D, Eの順序が決まっている。まず(C C)をXとする。

A, A, B, B, D, E, Xの7文字を並べる。

X, D, Eの並び順序はX ... D ... Eの順番になる。

7箇所から3箇所を選びX, D, Eを配置し、残りの4箇所にA, A, B, Bを並べる。X, D, Eの順序は決まっているので、順列ではなく組み合わせを使う。

しかし、XはDよりも左、EはDよりも右である必要があるため、単純に組み合わせでは計算できない。

XDEをまとめて考えるというアプローチは難しい。

Xが一番左にある場合を考える。 X A A B B D E

A A B Bの並べ方は$\frac{4!}{2!2!} = 6$通り

Xが一番左ではない場合、A X A B B D E ...など

C Cを一つとしてXとする。Xを左に固定してDよりも左にあるパターンを考え、EをDよりも右に配置するパターンを考えるのは難しい。

一旦、A, A, B, B, C C, D, EのC Cを除いた A, A, B, B, D, E の並べ方を考え、その後でCCをDよりも左に入れる方法で考える。

最終的に、条件を満たす並べ方は210通りである。

3. 最終的な答え

(1) 5040通り

(2) 1260通り

(3) 210通り