問題27(1): $\lim_{x \to 2} \frac{2-x}{\sqrt{3-x}-1}$ を計算する。

1. 問題の内容

問題27(1): $\lim_{x \to 2} \frac{2-x}{\sqrt{3-x}-1}$ を計算する。

2. 解き方の手順

$x \to 2$ のとき、分子は $2-2 = 0$ に近づき、分母は $\sqrt{3-2}-1 = \sqrt{1}-1 = 1-1 = 0$ に近づくため、不定形 $\frac{0}{0}$ の形である。

分母を有理化するため、分母分子に $\sqrt{3-x} + 1$ を掛ける。

\begin{align*}

\lim_{x \to 2} \frac{2-x}{\sqrt{3-x}-1} &= \lim_{x \to 2} \frac{(2-x)(\sqrt{3-x}+1)}{(\sqrt{3-x}-1)(\sqrt{3-x}+1)} \\

&= \lim_{x \to 2} \frac{(2-x)(\sqrt{3-x}+1)}{(3-x)-1} \\

&= \lim_{x \to 2} \frac{(2-x)(\sqrt{3-x}+1)}{2-x} \\

&= \lim_{x \to 2} (\sqrt{3-x}+1) \\

\end{align*}

ここで、$x \to 2$ とすると、$\sqrt{3-x}+1 \to \sqrt{3-2} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 1+1 = 2$ となる。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 2} \frac{2-x}{\sqrt{3-x}-1} = 2$