無限等比級数 $\cos\theta - \cos^2\theta + \cos^3\theta - \cos^4\theta + \dots$ の収束・発散を調べ、収束する場合にはその和を求める。ただし、$0 < \theta < \pi$ とする。

1. 問題の内容

無限等比級数 $\cos\theta - \cos^2\theta + \cos^3\theta - \cos^4\theta + \dots$ の収束・発散を調べ、収束する場合にはその和を求める。ただし、$0 < \theta < \pi$ とする。

2. 解き方の手順

まず、この無限級数が等比級数であることを確認する。初項 $a$ と公比 $r$ を見つける。この級数の初項は $a = \cos\theta$ であり、公比は $r = -\cos\theta$ である。

無限等比級数が収束するための条件は、公比の絶対値が1より小さいこと、つまり $|r| < 1$ である。したがって、ここでは $|\cos\theta| < 1$ が条件となる。$0 < \theta < \pi$ の範囲では、$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき $\cos\theta = 0$ となり、それ以外のとき $-1 < \cos\theta < 1$ である。したがって、$\theta \neq \frac{\pi}{2}$ が収束条件となる。

無限等比級数が収束する場合、その和 $S$ は次の式で与えられる。

$S = \frac{a}{1-r}$

この問題の場合、$a = \cos\theta$、$r = -\cos\theta$ であるから、

$S = \frac{\cos\theta}{1 - (-\cos\theta)} = \frac{\cos\theta}{1 + \cos\theta}$

3. 最終的な答え

この無限等比級数は $\theta \neq \frac{\pi}{2}$ のとき収束し、その和は $\frac{\cos\theta}{1 + \cos\theta}$ である。

$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき発散する。