与えられた3つの関数 $y_1, y_2, y_3$ をそれぞれ $x$ について微分する問題です。

1. 問題の内容

与えられた3つの関数 $y_1, y_2, y_3$ をそれぞれ $x$ について微分する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $y_1 = \frac{d}{dx}(3x+5)^8$

連鎖律を用いて微分します。$u = 3x+5$ とおくと、$y_1 = \frac{d}{dx} u^8 = \frac{d}{du}u^8 \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{d}{du}u^8 = 8u^7$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(3x+5) = 3$

よって、

$y_1 = 8(3x+5)^7 \cdot 3 = 24(3x+5)^7$

(2) $y_2 = \frac{d}{dx}(2x+3)^5$

同様に連鎖律を用いて微分します。$u = 2x+3$ とおくと、$y_2 = \frac{d}{dx} u^5 = \frac{d}{du}u^5 \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{d}{du}u^5 = 5u^4$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x+3) = 2$

よって、

$y_2 = 5(2x+3)^4 \cdot 2 = 10(2x+3)^4$

(3) $y_3 = \frac{d}{dx}(20x+22)^8$

同様に連鎖律を用いて微分します。$u = 20x+22$ とおくと、$y_3 = \frac{d}{dx} u^8 = \frac{d}{du}u^8 \cdot \frac{du}{dx}$ となります。

$\frac{d}{du}u^8 = 8u^7$

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(20x+22) = 20$

よって、

$y_3 = 8(20x+22)^7 \cdot 20 = 160(20x+22)^7$

3. 最終的な答え

(1) $y_1 = 24(3x+5)^7$

(2) $y_2 = 10(2x+3)^4$

(3) $y_3 = 160(20x+22)^7$