## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

2つの極限を計算する問題です。

(7) は $\lim_{x \to -0} (1 - e^x)^x$ を求めます。

(8) は $\lim_{x \to +0} (\tan x)^x$ を求めます。

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2. 解き方の手順

### (7) $\lim_{x \to -0} (1 - e^x)^x$ の計算

1. まず、 $y = (1 - e^x)^x$ とおきます。

2. 両辺の自然対数をとると $\ln y = x \ln (1 - e^x)$ となります。

3. $\lim_{x \to -0} \ln y = \lim_{x \to -0} x \ln (1 - e^x)$ を計算します。

4. $x \to -0$ のとき、$e^x \to 1$ なので、$1-e^x \to 0$ となります。したがって、$\ln(1-e^x) \to -\infty$ となります。

5. この極限は $0 \cdot (-\infty)$ の不定形なので、$\frac{-\infty}{\infty}$ または $\frac{0}{0}$ の形に変形します。今回は $\frac{-\infty}{\infty}$ の形に変形します。

$\lim_{x \to -0} x \ln (1 - e^x) = \lim_{x \to -0} \frac{\ln (1 - e^x)}{1/x}$

6. ロピタルの定理を使うために、分子と分母を微分します。

$\frac{d}{dx} \ln (1 - e^x) = \frac{-e^x}{1 - e^x}$

$\frac{d}{dx} (1/x) = -1/x^2$

7. $\lim_{x \to -0} \frac{\ln (1 - e^x)}{1/x} = \lim_{x \to -0} \frac{-e^x/(1 - e^x)}{-1/x^2} = \lim_{x \to -0} \frac{x^2 e^x}{1 - e^x}$

8. ここで、$x \to -0$ とすると、$\frac{0}{0}$ の不定形なので、再度ロピタルの定理を使います。

$\frac{d}{dx} (x^2 e^x) = 2x e^x + x^2 e^x$

$\frac{d}{dx} (1 - e^x) = -e^x$

9. $\lim_{x \to -0} \frac{x^2 e^x}{1 - e^x} = \lim_{x \to -0} \frac{2x e^x + x^2 e^x}{-e^x} = \lim_{x \to -0} \frac{2x + x^2}{-1} = 0$

1

0. $\lim_{x \to -0} \ln y = 0$ より、 $\lim_{x \to -0} y = e^0 = 1$

### (8) $\lim_{x \to +0} (\tan x)^x$ の計算

1. $y = (\tan x)^x$ とおきます。

2. 両辺の自然対数をとると $\ln y = x \ln (\tan x)$ となります。

3. $\lim_{x \to +0} \ln y = \lim_{x \to +0} x \ln (\tan x)$ を計算します。

4. $x \to +0$ のとき、$\tan x \to 0$ なので、$\ln(\tan x) \to -\infty$ となります。

5. この極限は $0 \cdot (-\infty)$ の不定形なので、$\frac{-\infty}{\infty}$ または $\frac{0}{0}$ の形に変形します。今回は $\frac{-\infty}{\infty}$ の形に変形します。

$\lim_{x \to +0} x \ln (\tan x) = \lim_{x \to +0} \frac{\ln (\tan x)}{1/x}$

6. ロピタルの定理を使うために、分子と分母を微分します。

$\frac{d}{dx} \ln (\tan x) = \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{1}{\sin x \cos x}$

$\frac{d}{dx} (1/x) = -1/x^2$

7. $\lim_{x \to +0} \frac{\ln (\tan x)}{1/x} = \lim_{x \to +0} \frac{1/(\sin x \cos x)}{-1/x^2} = \lim_{x \to +0} \frac{-x^2}{\sin x \cos x}$

8. ここで、$x \to +0$ とすると、$\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うか、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の関係を使います。後者を使う方が簡単です。

$\lim_{x \to +0} \frac{-x^2}{\sin x \cos x} = \lim_{x \to +0} \frac{-x}{\sin x} \cdot \frac{x}{\cos x} = \lim_{x \to +0} \frac{-x}{\sin x} \cdot \lim_{x \to +0} \frac{x}{\cos x} = -1 \cdot \frac{0}{1} = 0$

9. $\lim_{x \to +0} \ln y = 0$ より、 $\lim_{x \to +0} y = e^0 = 1$

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3. 最終的な答え

(7) $\lim_{x \to -0} (1 - e^x)^x = 1$

(8) $\lim_{x \to +0} (\tan x)^x = 1$