問題は、サイコロを繰り返し投げ、出た目に応じて得点を定めるというものです。ルールAに従って、k回目の得点を考えます。 ルールA: (i) k回目に初めて1の目が出たとき、得点は7点とする。 (ii) (i)のとき以外は、k回目に出た目の数を得点とする。 このルールに基づき、1回目、2回目、3回目の得点に関する確率や期待値を計算する問題です。

1. 問題の内容

問題は、サイコロを繰り返し投げ、出た目に応じて得点を定めるというものです。ルールAに従って、k回目の得点を考えます。

ルールA:

(i) k回目に初めて1の目が出たとき、得点は7点とする。

(ii) (i)のとき以外は、k回目に出た目の数を得点とする。

このルールに基づき、1回目、2回目、3回目の得点に関する確率や期待値を計算する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 1回目の得点

* 1回目の得点が7点となるのは、1回目に1の目が出た場合なので、確率は $1/6$。

* 1回目の得点が4点以上となるのは、4, 5, 6の目が出た場合なので、確率は $3/6 = 1/2$。

* 1回目の得点の期待値は、各目の確率と得点の積の和なので、

$E = (1/6) * 7 + (1/6) * 2 + (1/6) * 3 + (1/6) * 4 + (1/6) * 5 + (1/6) * 6 = (7+2+3+4+5+6)/6 = 27/6 = 9/2 = 4.5$ 点。

(2) 2回目の得点

* 2回目の得点が7点となるのは、1回目に1以外の目が出て、2回目に初めて1の目が出た場合なので、確率は $(5/6) * (1/6) = 5/36$。

* 2回目の得点が1点となるのは、1回目に1以外の目が出て、2回目に1の目が出なかった場合の1の目が出たとき以外の場合か1回目に1の目が出た場合で2回目に1の目が出なかったときなので確率は$1/6$。確率は $\frac{5}{6} \times \frac{1}{6}$ = $\frac{5}{36}$

よって、2回目に1点となる確率は、2回目に1の目が出た場合で、1回目に初めて1の目が出なかった場合なので、確率は $(5/6) * (1/6) = 5/36$。

(3) 3回目の得点

* 3回目の得点が1点となるのは、3回目に1の目が出て、1回目と2回目に1の目が出ていないときなので、確率は $(5/6) * (5/6) * (1/6) = 25/216$。

(4) 条件付き確率

* 3回目の得点が1点であったとき、2回目の得点が7点である条件付き確率を求める。

* $P(2回目の得点が7点 | 3回目の得点が1点) = P(2回目の得点が7点 かつ 3回目の得点が1点) / P(3回目の得点が1点)$

* 2回目の得点が7点 かつ 3回目の得点が1点となるのは、1回目に1以外の目が出て、2回目に1の目が出て、3回目に1の目が出た場合なので、確率は $(5/6) * (1/6) * (1/6) = 5/216$。

* 3回目の得点が1点となる確率は、上で求めたように $25/216$。

* したがって、条件付き確率は $(5/216) / (25/216) = 5/25 = 1/5$。

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 6

ウ: 1

エ: 2

オ: 9

カ: 2

キ: 5

クケ: 36

コ: 5

サシ: 36

スセ: 25

ソタチ: 216

ツ: 1

テト: 5