$a, b$ を実数の定数とする。3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 - 3bx + b$ が $x = 2$ において極小値 $-20$ をとるような $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ を実数の定数とする。3次関数 $f(x) = x^3 + ax^2 - 3bx + b$ が $x = 2$ において極小値 $-20$ をとるような $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^3 + ax^2 - 3bx + b$

$f'(x) = 3x^2 + 2ax - 3b$

$f(2) = 2^3 + a(2^2) - 3b(2) + b = 8 + 4a - 6b + b = 8 + 4a - 5b$

$f'(2) = 3(2^2) + 2a(2) - 3b = 12 + 4a - 3b$

$x=2$ で極小値 $-20$ をとるということは、$f(2) = -20$ かつ $f'(2) = 0$ が成り立つ。

したがって、以下の連立方程式を解けば良い。

$8 + 4a - 5b = -20$

$12 + 4a - 3b = 0$

これらの式を整理すると、

$4a - 5b = -28$ (1)

$4a - 3b = -12$ (2)

(1) - (2) より、

$-2b = -16$

$b = 8$

これを (2) に代入すると、

$4a - 3(8) = -12$

$4a - 24 = -12$

$4a = 12$

$a = 3$

$f'(x) = 3x^2 + 6x - 24 = 3(x^2 + 2x - 8) = 3(x+4)(x-2)$

$x = -4$ で極大、$x = 2$ で極小となるため、$a=3, b=8$ は条件を満たす。

3. 最終的な答え

$a = 3, b = 8$