与えられた式を計算して簡単にします。式は $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}+\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を計算して簡単にします。式は

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}+\sqrt{6}} + \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}$

です。

2. 解き方の手順

まず、各分数の分母を有理化します。

$\sqrt{6} = \sqrt{2}\sqrt{3}$ であることに注意します。

最初の分数の分母と分子に $2\sqrt{3} - \sqrt{6}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}+\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(2\sqrt{3}-\sqrt{6})}{(2\sqrt{3}+\sqrt{6})(2\sqrt{3}-\sqrt{6})}$

$= \frac{2\sqrt{3}\sqrt{3}-\sqrt{3}\sqrt{6}-2\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt{2}\sqrt{6}}{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{6})^2}$

$= \frac{6 - \sqrt{18} - 2\sqrt{6} + \sqrt{12}}{12 - 6}$

$= \frac{6 - 3\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3}}{6}$

$= \frac{6 - 3\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3}}{6}$

次の分数の分母と分子に $2\sqrt{3} + \sqrt{6}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2\sqrt{3}-\sqrt{6}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(2\sqrt{3}+\sqrt{6})}{(2\sqrt{3}-\sqrt{6})(2\sqrt{3}+\sqrt{6})}$

$= \frac{2\sqrt{3}\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{6}+2\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt{2}\sqrt{6}}{(2\sqrt{3})^2-(\sqrt{6})^2}$

$= \frac{6 + \sqrt{18} + 2\sqrt{6} + \sqrt{12}}{12 - 6}$

$= \frac{6 + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3}}{6}$

2つの分数を足し合わせます。

$\frac{6 - 3\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3}}{6} + \frac{6 + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3}}{6}$

$= \frac{6 - 3\sqrt{2} - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} + 6 + 3\sqrt{2} + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3}}{6}$

$= \frac{12 + 4\sqrt{3}}{6}$

$= \frac{6 + 2\sqrt{3}}{3}$

$= 2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$2 + \frac{2\sqrt{3}}{3}$