問題は、さいころを繰り返し投げ、出た目に応じて得点を定めるゲームに関する確率の問題です。 ルールAとして、k回目に初めて1が出た場合は7点、それ以外は出た目の数を得点とします。 (1)では、1回目、2回目、3回目の得点に関する確率と、1回目の得点の期待値を求める必要があります。

1. 問題の内容

問題は、さいころを繰り返し投げ、出た目に応じて得点を定めるゲームに関する確率の問題です。

ルールAとして、k回目に初めて1が出た場合は7点、それ以外は出た目の数を得点とします。

(1)では、1回目、2回目、3回目の得点に関する確率と、1回目の得点の期待値を求める必要があります。

2. 解き方の手順

ア、イ：1回目の得点が7点である確率は、1回目の試行で1が出る確率です。これは$\frac{1}{6}$です。

1回目の得点が4点以上である確率は、4, 5, 6のいずれかの目が出る確率です。これは$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$です。

ウ、エ：1回目の得点の期待値は、各得点とそれが出る確率を掛け合わせたものの和で計算できます。

$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2} = 3.5$

オ、カ：したがって、1回目の得点の期待値は3.5点です。

キ、ク、ケ：2回目の得点が7点である確率は、2回目に初めて1が出る確率です。これは、1回目に1以外が出て、2回目に1が出る確率なので、$\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$です。

2回目の得点が1点である確率は、1回目に1が出ていない場合と、1回目に1が出ていた場合に分けて考えます。

1回目に1が出ていない場合、2回目に1が出れば得点は7点であり、この場合は条件を満たしません。

1回目に1が出ていた場合、2回目に1が出なければ得点は1点にはなりません。

つまり、2回目に1点である確率は、1回目に1以外が出て、2回目に1が出る場合を除く必要があります。

2回目の得点が1点である確率は、1回目に1が出ていない場合で2回目が1でないとき、2回目が1である確率は、1回目に1が出た場合は除外する必要があります。

1回目が1以外で2回目が1でない場合は、$\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$で2回目が1である場合は、1回目が1で2回目が1でない場合は$\frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{5}{36}$を足して$\frac{30}{36} = \frac{5}{6}$

$\frac{25}{36}$

コ、サ、シ：

3回目の得点が1点である確率は、次の2つの場合に分けられます。

1. 1回目、2回目に1以外の目が出て、3回目に1が出る場合。

2. 1回目に1が出て、2回目に1以外の目が出て、3回目に1が出る場合。

3回目が1点である確率は、1回目、2回目に1以外の目が出て、3回目に1が出たとき$\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$

ス、セ、ソ、タ、チ：3回目の得点が1点であったとき、2回目の得点が7点である条件付き確率は、

P(2回目の得点=7 | 3回目の得点=1) = P(2回目の得点=7 かつ 3回目の得点=1) / P(3回目の得点=1)

= (1回目が1以外、2回目が1、3回目が1)/(1回目が1以外,2回目1以外,3回目1)

= $\frac{\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot1}{\frac{25}{216}} = \frac{36}{5}$

(1回目が1、2回目1以外、3回目1の場合が含まれていない)

条件付き確率を正しく考えると、2回目の得点が7点となるのは、1回目に1以外の目が出て、2回目に1が出る場合のみです。その確率は$\frac{5}{36}$です。3回目の得点が1点となるのは、上記の$\frac{25}{216}$です。

したがって、$\frac{\frac{5}{36}}{\frac{25}{216}} = \frac{5}{36} \times \frac{216}{25} = \frac{1}{1} \times \frac{6}{5} = \frac{6}{5}$

(2回目が7点になるのはありえない）

ツ、テ、ト：3回目の得点が1点である条件の元で、2回目の得点が7点になる確率は $\frac{5}{36} / \frac{25}{216} = \frac{6}{5}$

3. 最終的な答え

ア：1/6

イ：1/2

ウ：3

エ：5

オ：3

カ：5

キ：5

ク：3

ケ：6

コ：25

サ：216

シ：

ス：25

セ：2

ソ：216

タ：

チ：

ツ：

テ：

ト：