放物線 $C_1: y = 2x^2$ がある。$C_1$ 上の点 $A(1,2)$ における $C_1$ の接線を $l$ とする。 また、放物線 $C_2: y = -x^2 + ax - b$ ($a, b$ は定数)があり、$C_2$ は接線 $l$ に点 $A$ で接している。 $0 < t < 1$ とする。また、$l$ と $C_2$ および2直線 $x=t, x=2t+1$ で囲まれた二つの図形の面積の和を $S(t)$ とするとき、空欄を埋めなさい。

はい、数学の問題を解きましょう。

1. 問題の内容

放物線 $C_1: y = 2x^2$ がある。$C_1$ 上の点 $A(1,2)$ における $C_1$ の接線を $l$ とする。

また、放物線 $C_2: y = -x^2 + ax - b$ ($a, b$ は定数)があり、$C_2$ は接線 $l$ に点 $A$ で接している。

$0 < t < 1$ とする。また、$l$ と $C_2$ および2直線 $x=t, x=2t+1$ で囲まれた二つの図形の面積の和を $S(t)$ とするとき、空欄を埋めなさい。

2. 解き方の手順

(ア) $C_1: y = 2x^2$ を微分すると $y' = 4x$。点 $A(1,2)$ における接線の傾きは $y'(1) = 4$ である。

(イ) よって、接線 $l$ の方程式は $y - 2 = 4(x - 1)$ より、 $y = 4x - 2$ である。

(ウ) $C_2: y = -x^2 + ax - b$ が接線 $l$ に点 $A(1,2)$ で接しているので、接線の傾きも $4$ になる。$C_2$ を微分すると $y' = -2x + a$。点 $A(1,2)$ における傾きは $y'(1) = -2 + a = 4$ より、$a = 6$ である。

また、$C_2$ は点 $A(1,2)$ を通るので、$2 = -1^2 + 6(1) - b$ より、$2 = -1 + 6 - b$ となり、$b = 3$ である。

(エ) したがって、$a = 6, b = 3$。

$S(t)$ を計算する。$C_2: y = -x^2 + 6x - 3$ と $l: y = 4x - 2$ で囲まれる部分の積分を考える。

$-x^2 + 6x - 3 = 4x - 2$ より、$-x^2 + 2x - 1 = 0$。したがって、$-(x-1)^2 = 0$ となるので、x = 1。

$S(t) = \int_t^1 (4x-2 - (-x^2+6x-3))dx + \int_1^{2t+1} (-x^2+6x-3 - (4x-2))dx$

$= \int_t^1 (x^2 - 2x + 1) dx + \int_1^{2t+1} (-x^2 + 2x - 1) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 - x^2 + x]_t^1 + [-\frac{1}{3}x^3 + x^2 - x]_1^{2t+1}$

$= (\frac{1}{3} - 1 + 1) - (\frac{1}{3}t^3 - t^2 + t) + (-\frac{1}{3}(2t+1)^3 + (2t+1)^2 - (2t+1)) - (-\frac{1}{3} + 1 - 1)$

$= \frac{1}{3} - \frac{1}{3}t^3 + t^2 - t - \frac{1}{3}(8t^3 + 12t^2 + 6t + 1) + (4t^2 + 4t + 1) - (2t+1) + \frac{1}{3}$

$= \frac{2}{3} - \frac{1}{3}t^3 + t^2 - t - \frac{8}{3}t^3 - 4t^2 - 2t - \frac{1}{3} + 4t^2 + 4t + 1 - 2t - 1$

$= -\frac{9}{3}t^3 + t^2 - 2t + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} + 1 - 1 = -3t^3 + t^2 - 2t + \frac{1}{3}$

$S(t) = -3t^3 + t^2 - 2t + \frac{1}{3}$

$S'(t) = -9t^2 + 2t - 2$

$S'(t) = 0$ となる $t$ を求める。

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(-9)(-2)}}{2(-9)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4-72}}{-18} = \frac{-2 \pm \sqrt{-68}}{-18}$

判別式が負なので実数解を持たない。0 < t < 1 で定義されているので、この範囲で最小値を求める。

$S'(t) = -9t^2 + 2t - 2$ は常に負であるから、$S(t)$ は単調減少関数である。したがって、$t_1$ は存在しない。

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: $4x - 2$

ウ: 6

エ: 3

オ: -3

カ: 1

キ: -2

ク: 1/3

ケ: -9

コ: 2

サ: -2

シス: 解なし

セ: 解なし

ソ: 解なし

タ: 解なし