(1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{3x^2 - 12}$ を求めよ。 (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 5x + 6}{3x^2 - 12}$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{3x^2 - 12}$ を求めよ。

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 5x + 6}{3x^2 - 12}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^2 - 5x + 6$ と $3x^2 - 12$ を因数分解します。

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

$3x^2 - 12 = 3(x^2 - 4) = 3(x - 2)(x + 2)$

したがって、

$\frac{x^2 - 5x + 6}{3x^2 - 12} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{3(x - 2)(x + 2)}$

$x \neq 2$のとき、

$\frac{(x - 2)(x - 3)}{3(x - 2)(x + 2)} = \frac{x - 3}{3(x + 2)}$

よって、

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{3x^2 - 12} = \lim_{x \to 2} \frac{x - 3}{3(x + 2)} = \frac{2 - 3}{3(2 + 2)} = \frac{-1}{3 \cdot 4} = -\frac{1}{12}$

(2)

分子と分母を$x^2$で割ります。

$\frac{x^2 - 5x + 6}{3x^2 - 12} = \frac{1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^2}}{3 - \frac{12}{x^2}}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 5x + 6}{3x^2 - 12} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{5}{x} + \frac{6}{x^2}}{3 - \frac{12}{x^2}} = \frac{1 - 0 + 0}{3 - 0} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{12}$

(2) $\frac{1}{3}$