区間 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ において、関数 $g(x) = x^2 \tan x$ が定義されています。 (1) $g(x)$ が $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ で狭義単調増加であることを示します。 (2) $g(x)$ の導関数 $g'(x)$ を求めます。 (3) $g(x)$ の逆関数 $g^{-1}(x)$ の定義域を述べます。 (4) $(g^{-1})'(\frac{\pi^2}{16})$ を求めます。 (5) $g^{-1}(x)$ が $x=0$ において微分可能かどうかを理由とともに答えます。

はい、承知しました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

区間 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ において、関数 $g(x) = x^2 \tan x$ が定義されています。

(1) $g(x)$ が $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ で狭義単調増加であることを示します。

(2) $g(x)$ の導関数 $g'(x)$ を求めます。

(3) $g(x)$ の逆関数 $g^{-1}(x)$ の定義域を述べます。

(4) $(g^{-1})'(\frac{\pi^2}{16})$ を求めます。

(5) $g^{-1}(x)$ が $x=0$ において微分可能かどうかを理由とともに答えます。

2. 解き方の手順

(1) $g(x)$ が狭義単調増加であることを示すためには、$g'(x) > 0$ を示す必要があります。

$g(x) = x^2 \tan x$

$g'(x) = 2x \tan x + x^2 \sec^2 x$

区間 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ において、$x \ne 0$ のとき、$x^2 > 0$ かつ $\sec^2 x > 0$ であるため、$x^2 \sec^2 x > 0$ となります。

また、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ では $2x > 0$ かつ $\tan x > 0$ であるため、$2x \tan x > 0$ となります。

$-\frac{\pi}{2} < x < 0$ では $2x < 0$ かつ $\tan x < 0$ であるため、$2x \tan x > 0$ となります。

したがって、$x \ne 0$ のとき、$g'(x) = 2x \tan x + x^2 \sec^2 x > 0$ となります。

$x = 0$ においては、$g'(0) = 0$ ですが、$x = 0$ の前後で $g'(x)$ の符号は変化しないため、区間 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ で $g(x)$ は狭義単調増加です。

(2) $g(x)$ の導関数は、(1) で求めた通りです。

$g'(x) = 2x \tan x + x^2 \sec^2 x$

(3) 逆関数の定義域は、元の関数の値域です。

$g(-\frac{\pi}{2}+0) = (-\frac{\pi}{2}+0)^2 \tan(-\frac{\pi}{2}+0)=-\infty$

$g(\frac{\pi}{2}-0) = (\frac{\pi}{2}-0)^2 \tan(\frac{\pi}{2}-0) = \infty$

$g(0) = 0$

$g(x)$ は狭義単調増加であるので、区間 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ における $g(x)$ の値域は $(-\infty, \infty)$ です。

したがって、$g^{-1}(x)$ の定義域は $(-\infty, \infty)$ です。

(4) 逆関数の微分公式 $(g^{-1})'(x) = \frac{1}{g'(g^{-1}(x))}$ を利用します。

まず、$g^{-1}(\frac{\pi^2}{16})$ を求めます。

$g(x) = \frac{\pi^2}{16}$ となる $x$ を探します。

$x^2 \tan x = \frac{\pi^2}{16}$

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$g(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\pi}{4})^2 \tan (\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi^2}{16} \cdot 1 = \frac{\pi^2}{16}$ となるので、$g^{-1}(\frac{\pi^2}{16}) = \frac{\pi}{4}$ です。

次に、$g'(\frac{\pi}{4})$ を求めます。

$g'(x) = 2x \tan x + x^2 \sec^2 x$

$g'(\frac{\pi}{4}) = 2 (\frac{\pi}{4}) \tan (\frac{\pi}{4}) + (\frac{\pi}{4})^2 \sec^2 (\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} \cdot 1 + \frac{\pi^2}{16} \cdot 2 = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi^2}{8}$

したがって、$(g^{-1})'(\frac{\pi^2}{16}) = \frac{1}{g'(\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \frac{\pi^2}{8}} = \frac{1}{\frac{4\pi+\pi^2}{8}} = \frac{8}{4\pi + \pi^2}$

(5) $g^{-1}(x)$ が $x=0$ で微分可能かどうかを調べます。

$g^{-1}(0) = 0$ であり、$g'(0) = 0$ なので、$(g^{-1})'(0) = \frac{1}{g'(g^{-1}(0))} = \frac{1}{g'(0)}$ が定義できません。

しかし、$g(x)=x^2 \tan x$のグラフを考えると、$x=0$の付近では、$g(x) \approx x^3$とみなせます。

逆関数は、$g^{-1}(x) \approx x^{\frac{1}{3}}$となり、$x=0$で微分不可能となります。

理由：$g'(0)=0$であるため、逆関数の微分公式を用いると、$(g^{-1})'(0) = \frac{1}{g'(g^{-1}(0))}= \frac{1}{g'(0)}$ となり、分母がゼロになるため、微分不可能。

3. 最終的な答え

(1) $g(x)$ は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ において狭義単調増加である。

(2) $g'(x) = 2x \tan x + x^2 \sec^2 x$

(3) $g^{-1}(x)$ の定義域は $(-\infty, \infty)$

(4) $(g^{-1})'(\frac{\pi^2}{16}) = \frac{8}{\pi^2 + 4\pi}$

(5) $g^{-1}(x)$ は $x=0$ において微分不可能。理由：$g'(0)=0$であるため、逆関数の微分公式を用いると、$(g^{-1})'(0) = \frac{1}{g'(g^{-1}(0))}= \frac{1}{g'(0)}$ となり、分母がゼロになるため、微分不可能。