与えられた二つの微分方程式を解く問題です。 (1) $y' = xy + xy^3$ (2) $-y'e^{-y} + \frac{2x}{x^2+1}e^{-y} = \frac{2}{x^2+1}$

1. 問題の内容

与えられた二つの微分方程式を解く問題です。

(1) $y' = xy + xy^3$

(2) $-y'e^{-y} + \frac{2x}{x^2+1}e^{-y} = \frac{2}{x^2+1}$

2. 解き方の手順

(1) の微分方程式はベルヌーイ型微分方程式なので、適切な変数変換を行います。

(2) の微分方程式は、変数変換をすることで解きやすくなります。

(1)

$y' = xy + xy^3$ を $y' - xy = xy^3$ と変形します。

$v = y^{-2}$ とおくと、$\frac{dv}{dx} = -2y^{-3} \frac{dy}{dx}$ となります。よって、$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2} y^3 \frac{dv}{dx}$ となります。

これを元の式に代入すると、

$-\frac{1}{2} y^3 \frac{dv}{dx} - xy = xy^3$

$-\frac{1}{2} \frac{dv}{dx} - xy^{-2} = x$

$\frac{dv}{dx} + 2xv = -2x$

これは線形微分方程式なので、積分因子を求めます。

積分因子 $\mu(x) = e^{\int 2x dx} = e^{x^2}$

両辺に $\mu(x)$ をかけると、

$e^{x^2}\frac{dv}{dx} + 2xe^{x^2}v = -2xe^{x^2}$

$\frac{d}{dx}(ve^{x^2}) = -2xe^{x^2}$

両辺を積分すると、

$ve^{x^2} = \int -2xe^{x^2} dx = -e^{x^2} + C$

$v = -1 + Ce^{-x^2}$

$y^{-2} = -1 + Ce^{-x^2}$

$\frac{1}{y^2} = -1 + Ce^{-x^2}$

$y^2 = \frac{1}{Ce^{-x^2}-1}$

(2)

$-y'e^{-y} + \frac{2x}{x^2+1}e^{-y} = \frac{2}{x^2+1}$

$z = e^{-y}$ とおくと、$z' = -y'e^{-y}$

$z' + \frac{2x}{x^2+1}z = \frac{2}{x^2+1}$

これは線形微分方程式なので、積分因子を求めます。

積分因子 $\mu(x) = e^{\int \frac{2x}{x^2+1} dx} = e^{\ln(x^2+1)} = x^2+1$

両辺に $\mu(x)$ をかけると、

$(x^2+1)z' + 2xz = 2$

$\frac{d}{dx}((x^2+1)z) = 2$

両辺を積分すると、

$(x^2+1)z = \int 2 dx = 2x + C$

$z = \frac{2x+C}{x^2+1}$

$e^{-y} = \frac{2x+C}{x^2+1}$

$-y = \ln(\frac{2x+C}{x^2+1})$

$y = -\ln(\frac{2x+C}{x^2+1})$

$y = \ln(\frac{x^2+1}{2x+C})$

3. 最終的な答え

(1) $y^2 = \frac{1}{Ce^{-x^2}-1}$

(2) $y = \ln(\frac{x^2+1}{2x+C})$