$\arctan(\frac{1}{2}) + \arctan(\frac{1}{3}) = \frac{\pi}{4}$ であることを示してください。

1. 問題の内容

$\arctan(\frac{1}{2}) + \arctan(\frac{1}{3}) = \frac{\pi}{4}$ であることを示してください。

2. 解き方の手順

arctanの加法定理を使用します。$\arctan(x) + \arctan(y) = \arctan(\frac{x+y}{1-xy})$

$x = \frac{1}{2}$、 $y = \frac{1}{3}$とすると、

$$\arctan(\frac{1}{2}) + \arctan(\frac{1}{3}) = \arctan(\frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}})$$

式を整理します。

$$\arctan(\frac{\frac{3+2}{6}}{1 - \frac{1}{6}}) = \arctan(\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}})$$

$$\arctan(1)$$

$\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ なので、

$$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$$

したがって、

$$\arctan(\frac{1}{2}) + \arctan(\frac{1}{3}) = \frac{\pi}{4}$$

3. 最終的な答え

$\arctan(\frac{1}{2}) + \arctan(\frac{1}{3}) = \frac{\pi}{4}$