(1) $\sin^{-1} x = \cos^{-1}(\frac{4}{5})$ を満たす $x$ の値を求めよ。 (2) $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ を示せ。

1. 問題の内容

(1) $\sin^{-1} x = \cos^{-1}(\frac{4}{5})$ を満たす $x$ の値を求めよ。

(2) $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ を示せ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\cos^{-1}(\frac{4}{5}) = \theta$ とおく。このとき、$\cos \theta = \frac{4}{5}$ である。

$\sin^{-1} x = \theta$ であるから、$x = \sin \theta$ である。

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$ となる。

$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}$ となる。

$\cos^{-1}(\frac{4}{5}) = \theta$ の範囲は $0 \leq \theta \leq \pi$ であるから、$\sin \theta \geq 0$ でなければならない。

したがって、$\sin \theta = \frac{3}{5}$ である。

よって、$x = \sin \theta = \frac{3}{5}$ となる。

(2)

$y = \sin^{-1} x$ とおく。このとき、$-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$ である。

$x = \sin y$ が成り立つ。

$x = \cos (\frac{\pi}{2} - y)$ と書き換えることができる。

$\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - y$ となる。

$\sin^{-1} x = y$ であったから、$\cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin^{-1} x$ である。

$\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ が示された。

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{3}{5}$

(2) $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ が示された。