問題は、次の極限を求めることです。 (3) $\lim_{x \to 1+0} \frac{x-1}{\sqrt{x^3-1}}$ (4) $\lim_{x \to -1} \frac{3x + \sqrt{x+10}}{x+1}$

1. 問題の内容

問題は、次の極限を求めることです。

(3) $\lim_{x \to 1+0} \frac{x-1}{\sqrt{x^3-1}}$

(4) $\lim_{x \to -1} \frac{3x + \sqrt{x+10}}{x+1}$

2. 解き方の手順

(3)

$x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$を利用します。

$\lim_{x \to 1+0} \frac{x-1}{\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}} = \lim_{x \to 1+0} \sqrt{\frac{(x-1)^2}{(x-1)(x^2+x+1)}} = \lim_{x \to 1+0} \sqrt{\frac{x-1}{x^2+x+1}}$

$x \to 1+0$ のとき、 $x-1 \to 0$ であり、$x^2+x+1 \to 3$ です。したがって、

$\lim_{x \to 1+0} \sqrt{\frac{x-1}{x^2+x+1}} = \sqrt{\frac{0}{3}} = 0$

(4)

$x \to -1$ のとき、分子は $3(-1) + \sqrt{-1+10} = -3 + \sqrt{9} = -3+3 = 0$ であり、分母も$-1+1 = 0$ となるため、不定形です。

分母が0になるのを解消するために、分子の有理化を行います。

$\frac{3x + \sqrt{x+10}}{x+1} = \frac{(3x + \sqrt{x+10})(3x - \sqrt{x+10})}{(x+1)(3x - \sqrt{x+10})} = \frac{9x^2 - (x+10)}{(x+1)(3x - \sqrt{x+10})} = \frac{9x^2 - x - 10}{(x+1)(3x - \sqrt{x+10})}$

分子を因数分解します。

$9x^2 - x - 10 = (x+1)(9x-10)$

したがって、

$\frac{(x+1)(9x-10)}{(x+1)(3x - \sqrt{x+10})} = \frac{9x-10}{3x - \sqrt{x+10}}$

$\lim_{x \to -1} \frac{9x-10}{3x - \sqrt{x+10}} = \frac{9(-1) - 10}{3(-1) - \sqrt{-1+10}} = \frac{-9-10}{-3-\sqrt{9}} = \frac{-19}{-3-3} = \frac{-19}{-6} = \frac{19}{6}$

3. 最終的な答え

(3) 0

(4) $\frac{19}{6}$