(1) $0^\circ \le \theta < 360^\circ$ のとき、不等式 $2\sin^2\theta + 3\sin\theta + 1 < 0$ を解く。 (2) $0 \le \theta \le 2\pi$ のとき、不等式 $\sin 2\theta \le \sin \theta$ を解く。

1. 問題の内容

(1) $0^\circ \le \theta < 360^\circ$ のとき、不等式 $2\sin^2\theta + 3\sin\theta + 1 < 0$ を解く。

(2) $0 \le \theta \le 2\pi$ のとき、不等式 $\sin 2\theta \le \sin \theta$ を解く。

2. 解き方の手順

(1)

まず、不等式 $2\sin^2\theta + 3\sin\theta + 1 < 0$ を解く。

$x = \sin\theta$ と置くと、不等式は $2x^2 + 3x + 1 < 0$ となる。

これは $(2x + 1)(x + 1) < 0$ と因数分解できる。

したがって、$-1 < x < -\frac{1}{2}$ である。

すなわち、 $-1 < \sin\theta < -\frac{1}{2}$ である。

$\sin\theta = -1$ となるのは $\theta = 270^\circ$ のとき。

$\sin\theta = -\frac{1}{2}$ となるのは $\theta = 210^\circ$ と $\theta = 330^\circ$ のとき。

したがって、$210^\circ < \theta < 270^\circ$ および $270^\circ < \theta < 330^\circ$ が解となる。

(2)

不等式 $\sin 2\theta \le \sin \theta$ を解く。

$2\sin\theta\cos\theta \le \sin\theta$

$2\sin\theta\cos\theta - \sin\theta \le 0$

$\sin\theta(2\cos\theta - 1) \le 0$

$\sin\theta \ge 0$ かつ $2\cos\theta - 1 \le 0$ または $\sin\theta \le 0$ かつ $2\cos\theta - 1 \ge 0$

$\sin\theta \ge 0$ となるのは $0 \le \theta \le \pi$ のとき。

$\cos\theta \le \frac{1}{2}$ となるのは $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{5\pi}{3}$ のとき。

したがって、$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$

$\sin\theta \le 0$ となるのは $\pi \le \theta \le 2\pi$ のとき。

$\cos\theta \ge \frac{1}{2}$ となるのは $0 \le \theta \le \frac{\pi}{3}$ および $\frac{5\pi}{3} \le \theta \le 2\pi$ のとき。

したがって、$\pi \le \theta \le \frac{5\pi}{3}$

まとめると、$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$ および $\pi \le \theta \le \frac{5\pi}{3}$ となる。

$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$ および $\frac{5}{3}\pi \le \theta \le 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $210^\circ < \theta < 270^\circ$ , $270^\circ < \theta < 330^\circ$

(2) $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$ , $\frac{5}{3}\pi \le \theta \le 2\pi$