関数 $y = (1+x)\sin x + (1-x)\cos x$ の導関数 $y'$ を求め、それが $y' = \sqrt{2}x \sin(x + \frac{\pi}{4})$ となることを示す問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (1+x)\sin x + (1-x)\cos x$ の導関数 $y'$ を求め、それが $y' = \sqrt{2}x \sin(x + \frac{\pi}{4})$ となることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を微分します。積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$y = (1+x)\sin x + (1-x)\cos x$

$y' = (1+x)'\sin x + (1+x)(\sin x)' + (1-x)'\cos x + (1-x)(\cos x)'$

$y' = (1)\sin x + (1+x)(\cos x) + (-1)\cos x + (1-x)(-\sin x)$

$y' = \sin x + \cos x + x\cos x - \cos x - \sin x + x\sin x$

$y' = x\cos x + x\sin x$

$y' = x(\cos x + \sin x)$

次に、$y' = \sqrt{2}x \sin(x + \frac{\pi}{4})$ を展開します。

$\sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \sin x \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos x \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x + \cos x)$

$\sqrt{2}x \sin(x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(\sin x + \cos x) = x(\sin x + \cos x)$

したがって、$y' = x(\cos x + \sin x)$ は $y' = \sqrt{2}x \sin(x + \frac{\pi}{4})$ と等しいことが示されました。

3. 最終的な答え

$y' = x(\cos x + \sin x) = \sqrt{2}x \sin(x + \frac{\pi}{4})$