領域 $D_6 = \{(x, y) | 0 \le x^2 + y^2 \le 2x\}$ 上で、2重積分 $\iint_{D_6} y \, dx \, dy$ を求めよ。

1. 問題の内容

領域 $D_6 = \{(x, y) | 0 \le x^2 + y^2 \le 2x\}$ 上で、2重積分 $\iint_{D_6} y \, dx \, dy$ を求めよ。

2. 解き方の手順

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を行う。

$x^2 + y^2 = r^2$ であり、不等式 $0 \le x^2 + y^2 \le 2x$ は $0 \le r^2 \le 2r\cos\theta$ となる。

したがって、$0 \le r \le 2\cos\theta$ である。

また、$x^2 + y^2 \le 2x$ は $x^2 - 2x + y^2 \le 0$ と同値であり、$x^2 - 2x + 1 + y^2 \le 1$ より $(x-1)^2 + y^2 \le 1$ となる。これは中心が $(1, 0)$ で半径が $1$ の円の内部を表す。したがって、$\theta$ の範囲は $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ である。

ヤコビアンは $r$ であるから、

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\iint_{D_6} y \, dx \, dy = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{2\cos\theta} r\sin\theta \cdot r \, dr \, d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{2\cos\theta} r^2\sin\theta \, dr \, d\theta

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= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin\theta \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^{2\cos\theta} d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin\theta \frac{(2\cos\theta)^3}{3} d\theta = \frac{8}{3} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^3\theta \sin\theta \, d\theta

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$u = \cos\theta$ と置くと、$du = -\sin\theta d\theta$。

$\theta = -\frac{\pi}{2}$ のとき $u = 0$、$\theta = \frac{\pi}{2}$ のとき $u = 0$ であるから、

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\frac{8}{3} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^3\theta \sin\theta \, d\theta = \frac{8}{3} \int_{0}^{0} u^3 (-du) = 0

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3. 最終的な答え

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