関数 $y = \frac{x}{(x+1)(x+k)}$ の導関数が $y' = \frac{-x^2+k}{(x+1)^2(x+k)^2}$ であることを確認する問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x}{(x+1)(x+k)}$ の導関数が $y' = \frac{-x^2+k}{(x+1)^2(x+k)^2}$ であることを確認する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた関数 $y = \frac{x}{(x+1)(x+k)}$ の導関数を計算します。積の微分法則を用いると計算が複雑になるため、商の微分法則を使うのが良いでしょう。まず分母を展開して、$y = \frac{x}{x^2 + (k+1)x + k}$ とします。

商の微分法則は $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

ここで、$u = x$ であり、$v = x^2 + (k+1)x + k$ です。

したがって、$u' = 1$ であり、$v' = 2x + (k+1)$ です。

$y'$ は次のように計算できます。

$y' = \frac{1 \cdot (x^2 + (k+1)x + k) - x \cdot (2x + (k+1))}{(x^2 + (k+1)x + k)^2}$

$y' = \frac{x^2 + kx + x + k - 2x^2 - kx - x}{(x^2 + (k+1)x + k)^2}$

$y' = \frac{-x^2 + k}{(x^2 + (k+1)x + k)^2}$

分母を$(x+1)(x+k)$の形で書き直すと、 $(x^2 + (k+1)x + k)^2 = ((x+1)(x+k))^2 = (x+1)^2(x+k)^2$ となるため、

$y' = \frac{-x^2 + k}{(x+1)^2(x+k)^2}$

これは与えられた導関数と一致します。

3. 最終的な答え

導関数は $y' = \frac{-x^2 + k}{(x+1)^2(x+k)^2}$ である。