関数 $y = (2a + x)^2(2a - x)$ の導関数 $y'$ を求めます。与えられた導関数の候補 $y' = -(x + 2a)(3x - 2a)$ が正しいか確認します。

1. 問題の内容

関数 $y = (2a + x)^2(2a - x)$ の導関数 $y'$ を求めます。与えられた導関数の候補 $y' = -(x + 2a)(3x - 2a)$ が正しいか確認します。

2. 解き方の手順

まず、$y = (2a + x)^2(2a - x)$ を展開します。

$y = (4a^2 + 4ax + x^2)(2a - x)$

$y = 8a^3 - 4a^2x + 8a^2x - 4ax^2 + 2ax^2 - x^3$

$y = 8a^3 + 4a^2x - 2ax^2 - x^3$

次に、$y$ を $x$ で微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(8a^3 + 4a^2x - 2ax^2 - x^3)$

$\frac{dy}{dx} = 0 + 4a^2 - 4ax - 3x^2$

$\frac{dy}{dx} = 4a^2 - 4ax - 3x^2$

与えられた導関数の候補 $y' = -(x + 2a)(3x - 2a)$ を展開します。

$y' = -(3x^2 - 2ax + 6ax - 4a^2)$

$y' = -(3x^2 + 4ax - 4a^2)$

$y' = -3x^2 - 4ax + 4a^2$

$y' = 4a^2 - 4ax - 3x^2$

3. 最終的な答え

計算の結果、$\frac{dy}{dx} = 4a^2 - 4ax - 3x^2$ と $y' = 4a^2 - 4ax - 3x^2$ は一致します。

したがって、$y' = -(x + 2a)(3x - 2a)$ は正しいです。