関数 $y = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。問題文には答えも記載されています。$y' = -\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$ となっています。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。問題文には答えも記載されています。$y' = -\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$ となっています。

2. 解き方の手順

$y = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ を $y = (1+x^2)^{-1/2}$ と書き換えます。

次に、合成関数の微分を行います。

$u = 1+x^2$ とおくと、$y = u^{-1/2}$ となります。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{2}u^{-3/2} = -\frac{1}{2}(1+x^2)^{-3/2}$

$\frac{du}{dx} = 2x$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}(1+x^2)^{-3/2} \cdot 2x = -x(1+x^2)^{-3/2} = -\frac{x}{(1+x^2)^{3/2}} = -\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{x}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}$