不等式 $|x - 1| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

不等式 $|x - 1| < a$ を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、絶対値の不等式を解きます。

$|x - 1| < a$ は $-a < x - 1 < a$ と同値です。

各辺に1を足すと、

$1 - a < x < 1 + a$

となります。

この範囲に含まれる整数 $x$ が5個であるためには、端点 $1 - a$ と $1 + a$ の間隔が、整数5個を含む最小の範囲となるように考える必要があります。

$x$ は整数なので、 $1 - a < x < 1 + a$ を満たす整数を小さい順に並べると、ある整数 $n$ を用いて

$n, n+1, n+2, n+3, n+4$

と表せることになります。このとき、

$1-a < n$

$n+4 < 1+a$

が成り立ちます。

$n+5$ は範囲に含まれないので、

$n+5 \ge 1+a$

である必要があります。

$x=n$ は範囲に含まれるので、

$1-a < n$

両辺に4を足すと

$5-a < n+4 < 1+a$

$n < 1+a-4 = a-3$

整数が5個だけ存在する必要があるので、$x = n-1$ は範囲に含まれてはいけないので、$n-1 \leq 1-a$ となります。

$n \leq 2 -a$

同様に、$x = n+5$ も範囲に含まれてはいけないので、$n+5 \geq 1+a$ となります。

したがって、$n+4$ まで範囲に含まれているので、

$n+4 < 1+a$

でなければなりません。

ここで、$n+5 \ge 1+a$ なので、$1+a$ は $n+4$ と $n+5$ の間の数ということになります。

$n$ の条件式を整理すると、

$1-a < n \le 2-a$

$n+4 < 1+a \le n+5$

ここで、$x$ は整数なので、$n$ が求まる必要があります。

不等式を満たす整数が5個である条件は、

$1-a < x < 1+a$

の区間幅 $2a$ が 4より大きく6以下であることです。

整数5個を含む範囲は、$n, n+1, n+2, n+3, n+4$ なので、$n-1$ よりも大きく、$n+5$ よりも小さい範囲となります。

$n-1 = 1-a$, $n+5 = 1+a$ とすると、 $2a = 6$ となります。このとき、$a = 3$ です。

$1 - a < x < 1 + a$ に $a=3$ を代入すると、 $-2 < x < 4$ となり、$x$ は $-1, 0, 1, 2, 3$ の5個の整数を含むので、条件を満たします。

$n-1 = 1-a$, $n+4 = 1+a$ とすると、$2a = 5$ となります。このとき、$a = 2.5$ です。

$1 - a < x < 1 + a$ に $a=2.5$ を代入すると、 $-1.5 < x < 3.5$ となり、$x$ は $-1, 0, 1, 2, 3$ の5個の整数を含むので、条件を満たします。

$x$ が5個であるためには、$2a$ が 4より大きく6以下である必要があります。

したがって、$4 < 2a \leq 6$ が成り立ち、 $2 < a \leq 3$となります。

ここで、$2a=4$ の時、$a=2$ なので、$1-a < x < 1+a$ は $-1 < x < 3$ となり、$x = 0, 1, 2$ となり、3個しか存在しません。

$2a=6$ の時、$a=3$ なので、$1-a < x < 1+a$ は $-2 < x < 4$ となり、$x = -1, 0, 1, 2, 3$ となり、5個存在します。

したがって、$2 < a \leq 3$ が求める範囲です。

3. 最終的な答え

$2 < a \le 3$