次の4つの不定積分を計算します。 (i) $\int x^4 \log x \, dx$ (ii) $\int (x-2) \sin x \, dx$ (iii) $\int (3x^2 + 4x) \sqrt{x^3 + 2x^2 + 3} \, dx$ (iv) $\int \frac{\sin x}{\cos^3 x} \, dx$

以下に、問題の解法と解答を示します。

1. 問題の内容

次の4つの不定積分を計算します。

(i) $\int x^4 \log x \, dx$

(ii) $\int (x-2) \sin x \, dx$

(iii) $\int (3x^2 + 4x) \sqrt{x^3 + 2x^2 + 3} \, dx$

(iv) $\int \frac{\sin x}{\cos^3 x} \, dx$

2. 解き方の手順

(i) 部分積分法を用いて計算します。$u = \log x$, $dv = x^4 dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^5}{5}$ です。

よって、

$\int x^4 \log x \, dx = \frac{x^5}{5} \log x - \int \frac{x^5}{5} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^5}{5} \log x - \frac{1}{5} \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \log x - \frac{x^5}{25} + C$.

(ii) 部分積分法を用いて計算します。$u = x-2$, $dv = \sin x \, dx$ とおくと、$du = dx$, $v = -\cos x$ です。

よって、

$\int (x-2) \sin x \, dx = -(x-2) \cos x - \int (-\cos x) \, dx = -(x-2) \cos x + \int \cos x \, dx = -(x-2) \cos x + \sin x + C = (2-x)\cos x + \sin x + C$.

(iii) 置換積分法を用いて計算します。$t = x^3 + 2x^2 + 3$ とおくと、$dt = (3x^2 + 4x) \, dx$ です。

よって、

$\int (3x^2 + 4x) \sqrt{x^3 + 2x^2 + 3} \, dx = \int \sqrt{t} \, dt = \int t^{1/2} \, dt = \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{2}{3} (x^3 + 2x^2 + 3)^{3/2} + C$.

(iv) 置換積分法を用いて計算します。$t = \cos x$ とおくと、$dt = -\sin x \, dx$ です。

よって、

$\int \frac{\sin x}{\cos^3 x} \, dx = \int \frac{-1}{t^3} \, dt = -\int t^{-3} \, dt = -\frac{t^{-2}}{-2} + C = \frac{1}{2t^2} + C = \frac{1}{2 \cos^2 x} + C$.

3. 最終的な答え

(i) $\int x^4 \log x \, dx = \frac{x^5}{5} \log x - \frac{x^5}{25} + C$

(ii) $\int (x-2) \sin x \, dx = (2-x)\cos x + \sin x + C$

(iii) $\int (3x^2 + 4x) \sqrt{x^3 + 2x^2 + 3} \, dx = \frac{2}{3} (x^3 + 2x^2 + 3)^{3/2} + C$

(iv) $\int \frac{\sin x}{\cos^3 x} \, dx = \frac{1}{2 \cos^2 x} + C$