## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

次の不定積分を求める問題です。

(1) $\int x\sqrt{2x-1} \, dx$

(2) $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} \, dx$

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2. 解き方の手順

### (1) $\int x\sqrt{2x-1} \, dx$

1. **置換積分:** $u = 2x - 1$ と置換します。すると、$x = \frac{u+1}{2}$、$dx = \frac{1}{2}du$ となります。

2. **積分を書き換え:** 積分を $u$ で書き換えます。

$\int x\sqrt{2x-1} \, dx = \int \frac{u+1}{2} \sqrt{u} \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{4} \int (u+1)\sqrt{u} \, du = \frac{1}{4} \int (u^{3/2} + u^{1/2}) \, du$

3. **積分を実行:**

$\frac{1}{4} \int (u^{3/2} + u^{1/2}) \, du = \frac{1}{4} \left( \frac{u^{5/2}}{5/2} + \frac{u^{3/2}}{3/2} \right) + C = \frac{1}{4} \left( \frac{2}{5} u^{5/2} + \frac{2}{3} u^{3/2} \right) + C = \frac{1}{10} u^{5/2} + \frac{1}{6} u^{3/2} + C$

4. **変数をもとに戻す:** $u = 2x - 1$ を代入します。

$\frac{1}{10} (2x-1)^{5/2} + \frac{1}{6} (2x-1)^{3/2} + C$

### (2) $\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} \, dx$

1. **置換積分:** $u = x + 1$ と置換します。すると、$x = u - 1$、$dx = du$ となります。

2. **積分を書き換え:** 積分を $u$ で書き換えます。

$\int \frac{x}{\sqrt{x+1}} \, dx = \int \frac{u-1}{\sqrt{u}} \, du = \int \left(\frac{u}{\sqrt{u}} - \frac{1}{\sqrt{u}}\right) \, du = \int (u^{1/2} - u^{-1/2}) \, du$

3. **積分を実行:**

$\int (u^{1/2} - u^{-1/2}) \, du = \frac{u^{3/2}}{3/2} - \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{3} u^{3/2} - 2u^{1/2} + C$

4. **変数をもとに戻す:** $u = x + 1$ を代入します。

$\frac{2}{3} (x+1)^{3/2} - 2(x+1)^{1/2} + C$

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{10} (2x-1)^{5/2} + \frac{1}{6} (2x-1)^{3/2} + C$

(2) $\frac{2}{3} (x+1)^{3/2} - 2(x+1)^{1/2} + C$