与えられた数 $a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$ に対して、以下の問題を解く。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にすること。 (2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求め、さらに $a^2 - b^2$ の値を求めること。 (3) (2)で求めた $b$ の値を用いて、不等式 $p < x < p + 4b$ を満たす整数 $x$ がちょうど3個あり、それらの和が0となるときの $p$ の範囲を求めること。

1. 問題の内容

与えられた数 $a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$ に対して、以下の問題を解く。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にすること。

(2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求め、さらに $a^2 - b^2$ の値を求めること。

(3) (2)で求めた $b$ の値を用いて、不等式 $p < x < p + 4b$ を満たす整数 $x$ がちょうど3個あり、それらの和が0となるときの $p$ の範囲を求めること。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

$a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}}$ の分母を有理化するため、$3 + 2\sqrt{2}$ を分母と分子にかける。

$$a = \frac{1}{3 - 2\sqrt{2}} \times \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 + 2\sqrt{2}$$

(2) $a$ の小数部分 $b$ を求める。

$a = 3 + 2\sqrt{2}$ である。$\sqrt{2} \approx 1.414$ なので、$2\sqrt{2} \approx 2.828$ である。

したがって、$a \approx 3 + 2.828 = 5.828$ である。

$a$ の整数部分は5であるから、小数部分 $b = a - 5 = 3 + 2\sqrt{2} - 5 = 2\sqrt{2} - 2$ である。

次に、$a^2 - b^2$ の値を求める。

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ である。

$a + b = (3 + 2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2} - 2) = 1 + 4\sqrt{2}$

$a - b = (3 + 2\sqrt{2}) - (2\sqrt{2} - 2) = 5$

$a^2 - b^2 = (1 + 4\sqrt{2})(5) = 5 + 20\sqrt{2}$

(3) 不等式 $p < x < p + 4b$ を満たす整数 $x$ が3個あり、その和が0となる $p$ の範囲を求める。

$b = 2\sqrt{2} - 2$ なので、$4b = 8\sqrt{2} - 8 \approx 8(1.414) - 8 = 11.312 - 8 = 3.312$ である。

不等式は $p < x < p + 8\sqrt{2} - 8$ となる。

整数 $x$ が3個あり、それらの和が0になるので、それらの整数は $-1, 0, 1$ である。

よって、$-1$ が $p < x < p + 4b$ に含まれる最小の整数で、$1$ が最大の整数になる。

$-2$ または $2$ が含まれてはならない。

$p < -1 \le p + 4b$ より、$-1 - 4b \le p < -1$

$p < 1 < p + 4b$ より、$1 - 4b < p \le 1$

$p < -2$ または $2 < p + 4b$ より、$p < -2$ または $2 - 4b < p$

$p > 2$ または $-2 > p + 4b$ より、$p > 2$ または $-2 - 4b > p$

整数が $-1, 0, 1$ のとき、不等式を満たすためには、

$p < -1$ かつ $p + 4b > 1$ でなければならない。

また、$p > -2$ かつ $p + 4b < 2$ でなければならない。

よって、$-2 < p < -1$ かつ $1 - 4b < p < 2 - 4b$ である。

$1 - 4b < p < -1$ かつ $-2 < p < 2 - 4b$

$1 - 4b = 1 - 8\sqrt{2} + 8 = 9 - 8\sqrt{2} \approx 9 - 8(1.414) = 9 - 11.312 = -2.312$

$2 - 4b = 2 - 8\sqrt{2} + 8 = 10 - 8\sqrt{2} \approx 10 - 11.312 = -1.312$

$-2 < p < -1.312$ かつ $-2.312 < p < -1$

共通範囲は $-2 < p < -1.312$ である。

$p$ の範囲は $-2 < p \le 1 - 4b$ かつ $p + 4b \ge 1$ を満たせば良い。

したがって、$p$ の範囲は $-2 < p < 9 - 8\sqrt{2}$ である。

$p$ は整数ではないので注意。

3. 最終的な答え

(1) $a = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $b = 2\sqrt{2} - 2$, $a^2 - b^2 = 5 + 20\sqrt{2}$

(3) $-2 < p < -1.312 \cdots$より$-2 < p < 9-8\sqrt{2}$