方程式 $(x^3 - x)^2(y^3 - y) = 86400$ を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

方程式 $(x^3 - x)^2(y^3 - y) = 86400$ を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を因数分解します。

$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)$

$y^3 - y = y(y^2 - 1) = y(y-1)(y+1)$

したがって、与えられた方程式は次のようになります。

$(x(x-1)(x+1))^2 (y(y-1)(y+1)) = 86400$

$(x(x-1)(x+1))^2 (y(y-1)(y+1)) = (x^2(x-1)^2(x+1)^2)(y(y-1)(y+1)) = 86400$

ここで、$86400 = 2^7 \cdot 3^3 \cdot 5^2$ であることに注意します。

また、$x(x-1)(x+1)$ は連続する3つの整数の積であり、$y(y-1)(y+1)$ も連続する3つの整数の積です。

$x(x-1)(x+1) = (x-1)x(x+1)$

$x^2(x-1)^2(x+1)^2$ は平方数なので、$y(y-1)(y+1)$ も平方数でなければなりません。

$x(x-1)(x+1)$ は連続する3整数の積なので、ある整数 $n$ を使って $x(x-1)(x+1) = n$ と書くことができます。

このとき、$n^2(y(y-1)(y+1)) = 86400$ となります。

$86400 = 2^7 \cdot 3^3 \cdot 5^2$

$86400 = (2^3 \cdot 3 \cdot 5)^2 (2 \cdot 3) = 120^2(6/1)$

ここで $x(x-1)(x+1)$ がとりうる整数を考えると，$x=3$のとき $3(2)(4) = 24$ なので、$x(x-1)(x+1)=24$ のとき $(x(x-1)(x+1))^2=24^2 = 576$ となり、

$y(y-1)(y+1) = 86400/576 = 150 = 5(6)(5) = 5(4+2)(4+1)(5-1)$

$150 = 5 \cdot 6 \cdot 5$ は連続する3つの整数の積ではありません。

$x=4$ のとき $x(x-1)(x+1)= 4(3)(5)=60$ なので，$x(x-1)(x+1)=60$ のとき $(x(x-1)(x+1))^2 = 60^2 = 3600$ となり、

$y(y-1)(y+1) = 86400/3600 = 24 = 2 \cdot 3 \cdot 4$ であるため、$y=3$となる。

したがって、$(x, y) = (4, 3)$ が解の一つです。

また、$(-x, y)$, $(x, -y)$, $(-x, -y)$ も解になります。

ゆえに、$(-4, 3)$, $(4, -3)$, $(-4, -3)$ も解となります。

3. 最終的な答え

(4, 3), (-4, 3), (4, -3), (-4, -3)