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関数 $f(x) = x^3 + ax + b$ が $x=2$ で極小値 $-6$ をとるように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。

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2025/6/1

1. 問題の内容

関数 f(x)=x3+ax+bf(x) = x^3 + ax + b が x=2x=2 で極小値 −6-6 をとるように、定数 aa と bb の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

関数 f(x)f(x) が x=2x=2 で極小値 −6-6 をとることから、以下の2つの条件が成り立ちます。
* f(2)=−6f(2) = -6
* f′(2)=0f'(2) = 0
まず、f(x)f(x) を微分します。
f′(x)=3x2+af'(x) = 3x^2 + a
次に、f(2)=−6f(2) = -6 と f′(2)=0f'(2) = 0 を計算します。
f(2)=23+a(2)+b=8+2a+b=−6f(2) = 2^3 + a(2) + b = 8 + 2a + b = -6
2a+b=−142a + b = -14
f′(2)=3(22)+a=12+a=0f'(2) = 3(2^2) + a = 12 + a = 0
a=−12a = -12
a=−12a = -12 を 2a+b=−142a + b = -14 に代入します。
2(−12)+b=−142(-12) + b = -14
−24+b=−14-24 + b = -14
b=10b = 10

3. 最終的な答え

a=−12a = -12, b=10b = 10

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