点$(3, 4)$から曲線 $y = -x^2 + 4x - 3$ に引いた接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

点$(3, 4)$から曲線 $y = -x^2 + 4x - 3$ に引いた接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、接点の座標を$(t, -t^2 + 4t - 3)$とおく。

次に、曲線の微分を求める。

$y' = -2x + 4$

$x = t$における接線の傾きは$-2t + 4$である。

したがって、接線の方程式は次のようになる。

$y - (-t^2 + 4t - 3) = (-2t + 4)(x - t)$

この接線が点$(3, 4)$を通るから、

$4 - (-t^2 + 4t - 3) = (-2t + 4)(3 - t)$

$4 + t^2 - 4t + 3 = -6t + 2t^2 + 12 - 4t$

$t^2 - 4t + 7 = 2t^2 - 10t + 12$

$0 = t^2 - 6t + 5$

$0 = (t - 1)(t - 5)$

$t = 1, 5$

$t = 1$のとき、接点の座標は$(1, 0)$。接線の傾きは$-2(1) + 4 = 2$なので、接線の方程式は$y - 0 = 2(x - 1)$より$y = 2x - 2$となる。

$t = 5$のとき、接点の座標は$(5, -8)$。接線の傾きは$-2(5) + 4 = -6$なので、接線の方程式は$y - (-8) = -6(x - 5)$より$y + 8 = -6x + 30$となり、$y = -6x + 22$となる。

3. 最終的な答え

$y = 2x - 2$

$y = -6x + 22$