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関数 $f(x) = -x^2 + x$ の導関数を、導関数の定義に従って求めよ。

解析学導関数微積分関数の微分
2025/6/1

1. 問題の内容

関数 f(x)=−x2+xf(x) = -x^2 + x の導関数を、導関数の定義に従って求めよ。

2. 解き方の手順

導関数の定義は次の通りです。
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}
与えられた関数 f(x)=−x2+xf(x) = -x^2 + x を定義に代入します。
f(x+h)=−(x+h)2+(x+h)=−(x2+2xh+h2)+x+h=−x2−2xh−h2+x+hf(x+h) = -(x+h)^2 + (x+h) = -(x^2 + 2xh + h^2) + x + h = -x^2 - 2xh - h^2 + x + h
したがって、
f(x+h)−f(x)=(−x2−2xh−h2+x+h)−(−x2+x)=−2xh−h2+h=h(−2x−h+1)f(x+h) - f(x) = (-x^2 - 2xh - h^2 + x + h) - (-x^2 + x) = -2xh - h^2 + h = h(-2x - h + 1)
これを導関数の定義に代入します。
f′(x)=lim⁡h→0h(−2x−h+1)h=lim⁡h→0(−2x−h+1)f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(-2x - h + 1)}{h} = \lim_{h \to 0} (-2x - h + 1)
h→0h \to 0 のとき、−2x−h+1→−2x+1-2x - h + 1 \to -2x + 1 となります。

3. 最終的な答え

f′(x)=−2x+1f'(x) = -2x + 1

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