方程式 $x^3 - 6x^2 + a = 0$ が異なる2つの正の解と1つの負の解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

方程式 $x^3 - 6x^2 + a = 0$ が異なる2つの正の解と1つの負の解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^3 - 6x^2 + a$ とおく。

$f(x) = 0$ が異なる2つの正の解と1つの負の解を持つためには、$f(x)$ のグラフが $x$ 軸と3回交わり、正の領域で2回、負の領域で1回交わる必要がある。

まず、$f(x)$ を微分する。

$f'(x) = 3x^2 - 12x = 3x(x - 4)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$3x(x-4) = 0$ より、$x = 0, 4$

$f(x)$ の増減表を作成する。

- $x < 0$ のとき、$f'(x) > 0$

- $0 < x < 4$ のとき、$f'(x) < 0$

- $x > 4$ のとき、$f'(x) > 0$

よって、$f(x)$ は $x = 0$ で極大値を、 $x = 4$ で極小値をとる。

極大値：$f(0) = 0^3 - 6(0^2) + a = a$

極小値：$f(4) = 4^3 - 6(4^2) + a = 64 - 96 + a = a - 32$

$f(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つためには、極大値と極小値の積が負でなければならない。

$f(0) \cdot f(4) < 0$

$a(a - 32) < 0$

$0 < a < 32$

$f(x) = 0$ が異なる2つの正の解と1つの負の解を持つためには、

$f(0) = a > 0$ (極大値は正)

$f(4) = a - 32 < 0$ (極小値は負)

$a > 0$ かつ $a < 32$ である必要があり、これは $0 < a < 32$ と一致する。

さらに、$f(0) = a$ が極大値であり、$x=0$は正の解でも負の解でもないので、グラフの概形から、もう一つの条件である、負の領域で1回交わるためには、 $x=0$における値が正である必要がある。

$f(0) = a > 0$を満たしていれば良い。

$f(4) = a - 32$ が極小値であり、正の解を2つ持つためには $f(4) < 0$ である必要がある。

したがって、$a - 32 < 0$ より、$a < 32$ である。

したがって、$0 < a < 32$ が求める $a$ の範囲となる。

3. 最終的な答え

$0 < a < 32$