$a$と$b$は定数であり、$a<0$とする。関数 $f(x) = ax^3 - 3ax^2 + b$ ($1 \le x \le 3$) の最大値が10、最小値が-2となるように、定数$a$と$b$の値を定める。

1. 問題の内容

$a$と$b$は定数であり、$a<0$とする。関数 $f(x) = ax^3 - 3ax^2 + b$ ($1 \le x \le 3$) の最大値が10、最小値が-2となるように、定数$a$と$b$の値を定める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数を求める。

$f'(x) = 3ax^2 - 6ax = 3ax(x - 2)$

$a < 0$ なので、$f'(x) = 0$ となるのは $x = 0, 2$ のとき。

定義域は $1 \le x \le 3$ なので、$x=0$ は考慮しない。

$x=2$ は定義域に含まれる。

次に、$f(x)$ の増減表を作成する。

$f'(x)$ の符号は、$1 \le x < 2$ で $f'(x) > 0$、$2 < x \le 3$ で $f'(x) < 0$ となる。

したがって、$f(x)$ は $x=2$ で極大となる。

$f(x)$ の値を計算する。

$f(1) = a(1)^3 - 3a(1)^2 + b = a - 3a + b = -2a + b$

$f(2) = a(2)^3 - 3a(2)^2 + b = 8a - 12a + b = -4a + b$

$f(3) = a(3)^3 - 3a(3)^2 + b = 27a - 27a + b = b$

$a < 0$ より、 $f(x)$ は $x=2$ で極大値をとるので、$x=2$ で最大値をとる。

したがって、$-4a + b = 10$

$f(1) = -2a+b$, $f(3)=b$ の大小を比較する。

$f(1) - f(3) = -2a+b -b = -2a$

$a < 0$ なので $-2a > 0$ であり、$f(1) > f(3)$。

よって、$f(3)=b$ が最小値をとるので、$b = -2$。

$-4a + b = 10$ に $b = -2$ を代入すると、

$-4a - 2 = 10$

$-4a = 12$

$a = -3$

$a = -3 < 0$ を満たす。

3. 最終的な答え

$a = -3$, $b = -2$