問題1では、与えられた関数のグラフの概形を描き、指定された点における接線の方程式を求める問題です。問題2では、与えられた関数の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

問題1では、与えられた関数のグラフの概形を描き、指定された点における接線の方程式を求める問題です。問題2では、与えられた関数の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題1

(1) $y = 2x + 1$ (任意の点で)

傾きは2である。任意の点$(t, 2t+1)$における接線の方程式は、

$y - (2t + 1) = 2(x - t)$

$y = 2x - 2t + 2t + 1$

$y = 2x + 1$ (直線なので、任意の点で接線は元の直線と同じ。)

(2) $y = x^2 + 5x$ ($x = -3$で)

$x = -3$のとき、$y = (-3)^2 + 5(-3) = 9 - 15 = -6$

$y' = 2x + 5$

$x = -3$のとき、$y' = 2(-3) + 5 = -6 + 5 = -1$

接線の方程式は、

$y - (-6) = -1(x - (-3))$

$y + 6 = -x - 3$

$y = -x - 9$

(3) $y = x^3 - x + 1$ ($x = 1$で)

$x = 1$のとき、$y = 1^3 - 1 + 1 = 1$

$y' = 3x^2 - 1$

$x = 1$のとき、$y' = 3(1)^2 - 1 = 3 - 1 = 2$

接線の方程式は、

$y - 1 = 2(x - 1)$

$y - 1 = 2x - 2$

$y = 2x - 1$

(4) $y = \frac{2x}{x + 1}$ ($x = 1$で)

$x = 1$のとき、$y = \frac{2(1)}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$

$y' = \frac{2(x + 1) - 2x(1)}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2}$

$x = 1$のとき、$y' = \frac{2}{(1 + 1)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

接線の方程式は、

$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 1)$

$y - 1 = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

(5) $y = \sqrt{x}$ ($x = 2$で)

$x = 2$のとき、$y = \sqrt{2}$

$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$x = 2$のとき、$y' = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

接線の方程式は、

$y - \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}(x - 2)$

$y = \frac{\sqrt{2}}{4}x - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

$y = \frac{\sqrt{2}}{4}x + \frac{\sqrt{2}}{2}$

問題2

(1) $3x + 4$

$\frac{d}{dx}(3x + 4) = 3$

(2) $x^2 + 5x + 7$

$\frac{d}{dx}(x^2 + 5x + 7) = 2x + 5$

(3) $(x^2 - x + 4)(x^2 + x + 1)$

$f(x) = x^2 - x + 4$, $g(x) = x^2 + x + 1$とおくと、

$f'(x) = 2x - 1$, $g'(x) = 2x + 1$

$(fg)' = f'g + fg'$より

$(2x - 1)(x^2 + x + 1) + (x^2 - x + 4)(2x + 1) = 2x^3 + 2x^2 + 2x - x^2 - x - 1 + 2x^3 - 2x^2 + 8x + x^2 - x + 4 = 4x^3 + 9x + 3$

(4) $2 + x^{-1} + x^{-2}$

$\frac{d}{dx}(2 + x^{-1} + x^{-2}) = -x^{-2} - 2x^{-3} = -\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3}$

(5) $\frac{x - 1}{x + 1}$

$(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

$f = x - 1, g = x + 1$

$f' = 1, g' = 1$

$\frac{(1)(x + 1) - (x - 1)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2}$

(6) $\frac{x^2 + x + 1}{x^2 - x - 1}$

$(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

$f = x^2 + x + 1, g = x^2 - x - 1$

$f' = 2x + 1, g' = 2x - 1$

$\frac{(2x + 1)(x^2 - x - 1) - (x^2 + x + 1)(2x - 1)}{(x^2 - x - 1)^2} = \frac{2x^3 - 2x^2 - 2x + x^2 - x - 1 - (2x^3 + 2x^2 + 2x - x^2 - x - 1)}{(x^2 - x - 1)^2} = \frac{2x^3 - x^2 - 3x - 1 - 2x^3 - x^2 - x + 1}{(x^2 - x - 1)^2} = \frac{-2x^2 - 4x}{(x^2 - x - 1)^2}$

(7) $\frac{x^2 + 5}{x^3 + x^2 + 3}$

$(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

$f = x^2 + 5, g = x^3 + x^2 + 3$

$f' = 2x, g' = 3x^2 + 2x$

$\frac{2x(x^3 + x^2 + 3) - (x^2 + 5)(3x^2 + 2x)}{(x^3 + x^2 + 3)^2} = \frac{2x^4 + 2x^3 + 6x - (3x^4 + 2x^3 + 15x^2 + 10x)}{(x^3 + x^2 + 3)^2} = \frac{2x^4 + 2x^3 + 6x - 3x^4 - 2x^3 - 15x^2 - 10x}{(x^3 + x^2 + 3)^2} = \frac{-x^4 - 15x^2 - 4x}{(x^3 + x^2 + 3)^2}$

(8) $\frac{1 + \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{\frac{x + 1}{x}}{\frac{x^2 + 1}{x^2}} = \frac{(x+1)x^2}{x(x^2 + 1)} = \frac{x(x+1)}{x^2 + 1}$

$(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

$f = x^2 + x, g = x^2 + 1$

$f' = 2x + 1, g' = 2x$

$\frac{(2x + 1)(x^2 + 1) - (x^2 + x)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{2x^3 + 2x + x^2 + 1 - 2x^3 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)^2}$

3. 最終的な答え

問題1

(1) $y = 2x + 1$

(2) $y = -x - 9$

(3) $y = 2x - 1$

(4) $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

(5) $y = \frac{\sqrt{2}}{4}x + \frac{\sqrt{2}}{2}$

問題2

(1) $3$

(2) $2x + 5$

(3) $4x^3 + 9x + 3$

(4) $-\frac{1}{x^2} - \frac{2}{x^3}$

(5) $\frac{2}{(x + 1)^2}$

(6) $\frac{-2x^2 - 4x}{(x^2 - x - 1)^2}$

(7) $\frac{-x^4 - 15x^2 - 4x}{(x^3 + x^2 + 3)^2}$

(8) $\frac{-x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)^2}$