長方形ABCDにおいて、点PとQがそれぞれAとCから同時に出発し、辺ABとCB上を秒速1cmでBに向かって移動する。三角形PBQの面積が12 cm²となるのは、点PがAを出発してから何秒後かを求める。

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、点PとQがそれぞれAとCから同時に出発し、辺ABとCB上を秒速1cmでBに向かって移動する。三角形PBQの面積が12 cm²となるのは、点PがAを出発してから何秒後かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 点PがAを出発してからx秒後のBPの長さを求める。

　ABの長さは8cmであり、APの長さはx cmなので、BPの長さは

　$BP = 8 - x$ (cm)

(2) 点QがCを出発してからx秒後のBQの長さを求める。

　BCの長さは6cmであり、CQの長さはx cmなので、BQの長さは

　$BQ = 6 - x$ (cm)

(3) 三角形PBQの面積の式を立てる。三角形PBQの面積は12cm²なので、

　$\frac{1}{2} \times BP \times BQ = 12$

　$\frac{1}{2} \times (8 - x) \times (6 - x) = 12$

(4) 上記の式を整理してxについて解く。

　$(8 - x)(6 - x) = 24$

　$48 - 8x - 6x + x^2 = 24$

　$x^2 - 14x + 48 - 24 = 0$

　$x^2 - 14x + 24 = 0$

　$(x - 2)(x - 12) = 0$

　よって、$x = 2, 12$

(5) xの変域を考える。点PはAB上を動くので、xは0秒から8秒の間である。点QはBC上を動くので、xは0秒から6秒の間である。したがって、xは0から6の範囲である。つまり、$0 \leq x \leq 6$

(6) x = 2とx = 12のうち、xの変域を満たすのはx = 2である。

3. 最終的な答え

BP = 8 - x (cm)

BQ = 6 - x (cm)

1/2 * (8 - x) * (6 - x) = 12

x² - 14x + 24 = 0

x = 2, 12

0 ≦ x ≦ 6

2 秒後