(5) ベクトル$\vec{OA} = (3, 2)$、$\vec{OB} = (5, 1)$である三角形OABの面積$S$を求める。 (6) 3点A$(2, x)$、B$(7-x, x+2)$、C$(4, 8)$が同一直線上にあるとき、実数$x$の値を求める。

1. 問題の内容

(5) ベクトル$\vec{OA} = (3, 2)$、$\vec{OB} = (5, 1)$である三角形OABの面積$S$を求める。

(6) 3点A$(2, x)$、B$(7-x, x+2)$、C$(4, 8)$が同一直線上にあるとき、実数$x$の値を求める。

2. 解き方の手順

(5) 三角形OABの面積$S$は、ベクトル$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて以下のように計算できる。

$S = \frac{1}{2} | (OA_x \times OB_y) - (OA_y \times OB_x) |$

ここで、$OA_x = 3$, $OA_y = 2$, $OB_x = 5$, $OB_y = 1$を代入する。

$S = \frac{1}{2} | (3 \times 1) - (2 \times 5) | = \frac{1}{2} | 3 - 10 | = \frac{1}{2} |-7| = \frac{7}{2}$

(6) 3点A, B, Cが同一直線上にあるとき、ベクトル$\vec{AB}$と$\vec{AC}$は平行である。つまり、$\vec{AC} = k\vec{AB}$となる実数$k$が存在する。

$\vec{AB} = (7-x-2, x+2-x) = (5-x, 2)$

$\vec{AC} = (4-2, 8-x) = (2, 8-x)$

したがって、$(2, 8-x) = k(5-x, 2)$となる。

$2 = k(5-x)$

$8-x = 2k$

$k = \frac{2}{5-x}$を$8-x = 2k$に代入すると、

$8-x = 2(\frac{2}{5-x})$

$(8-x)(5-x) = 4$

$40 - 8x - 5x + x^2 = 4$

$x^2 - 13x + 36 = 0$

$(x-4)(x-9) = 0$

よって、$x=4$または$x=9$

3. 最終的な答え

(5) $S = \frac{7}{2}$

(6) $x = 4, 9$