平面上に $n$ 本の直線があり、どの2本も平行でなく、どの3本も同一の点で交わらないとする。このとき、これらの直線によってできる交点の個数 $a_n$ を求める。与えられた漸化式と $a_n$ の式を完成させる問題。

1. 問題の内容

平面上に $n$ 本の直線があり、どの2本も平行でなく、どの3本も同一の点で交わらないとする。このとき、これらの直線によってできる交点の個数 $a_n$ を求める。与えられた漸化式と $a_n$ の式を完成させる問題。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を見つける。

$n \ge 2$ のとき、

$(a_n - a_{n-1}) + (a_{n-1} - a_{n-2}) + \dots + (a_2 - a_1) = \sum_{k=1}^{n-1} k$

左辺は、和を取ると $a_n - a_1$ になる。

右辺は、$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ である。

したがって、$a_n - a_1 = \frac{(n-1)n}{2}$ となる。

$n=1$ のとき、直線は1本なので交点は存在しない。したがって、$a_1 = 0$ である。

よって、$a_n = \frac{(n-1)n}{2}$ となる。これは $n$ 本の直線から2本を選ぶ組み合わせの数である。

$a_{n+1} - a_n = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n^2+n-n^2+n}{2} = \frac{2n}{2} = n$

$a_{n+1} = a_n + n$ となる。$a_1=0$ なので、選択肢１は $a_{n+1} = a_n + n, a_1 = 1$ より異なる。選択肢２は $a_{n+1} = a_n + n, a_1 = 0$ なので条件を満たす。選択肢３は $a_{n+1} = a_n + n - 1, a_1 = 1$ より異なる。選択肢４は $a_{n+1} = a_n + n - 1, a_1 = 0$ より異なる。

したがって、漸化式は $a_{n+1} = a_n + n, a_1 = 0$ である。

$a_n = \frac{n(n-1)}{2}$ である。

よって、$a_n = \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n(n- \boxed{1})}{ \boxed{2}}$ となる。

3. 最終的な答え

1: 2

2: 1

3: 2