次の連立方程式を拡大係数行列と掃き出し法を使って解きます。 $ \begin{cases} 2x - y - z = 12 \\ x - 3y + 2z = 1 \\ 4x - 5y + z = 18 \end{cases} $
2025/6/2
## 問題1
1. **問題の内容**
次の連立方程式を拡大係数行列と掃き出し法を使って解きます。
\begin{cases}
2x - y - z = 12 \\
x - 3y + 2z = 1 \\
4x - 5y + z = 18
\end{cases}
2. **解き方の手順**
まず、与えられた連立方程式の拡大係数行列を作成します。
\left[\begin{array}{ccc|c}
2 & -1 & -1 & 12 \\
1 & -3 & 2 & 1 \\
4 & -5 & 1 & 18
\end{array}\right]
次に、掃き出し法を用いて、この行列を簡約階段形に変形します。
まず1行目と2行目を入れ替えます。
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & -3 & 2 & 1 \\
2 & -1 & -1 & 12 \\
4 & -5 & 1 & 18
\end{array}\right]
次に、2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目の4倍を引きます。
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & -3 & 2 & 1 \\
0 & 5 & -5 & 10 \\
0 & 7 & -7 & 14
\end{array}\right]
次に、2行目を5で割り、3行目を7で割ります。
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & -3 & 2 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 1 & -1 & 2
\end{array}\right]
次に、3行目から2行目を引きます。
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & -3 & 2 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
次に、1行目に2行目の3倍を加えます。
\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -1 & 7 \\
0 & 1 & -1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
よって、
\begin{cases}
x - z = 7 \\
y - z = 2
\end{cases}
したがって、とおくと、、となります。
3. **最終的な答え**
\begin{cases}
x = t + 7 \\
y = t + 2 \\
z = t
\end{cases}
$ (tは任意の実数)
## 問題2
1. **問題の内容**
与えられた行列Aが正則であるかどうかを調べ、正則ならば逆行列A^{-1}を求めます。
A = \left[\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 \\
4 & 3 & 2
\end{array}\right]
2. **解き方の手順**
行列Aが正則であるかどうかは、その行列式を計算することで判断できます。行列式が0でなければ、行列Aは正則です。
\det(A) = 1(1*2 - 1*3) - 1(2*2 - 1*4) + 1(2*3 - 1*4) = 1(2 - 3) - 1(4 - 4) + 1(6 - 4) = -1 - 0 + 2 = 1
行列式が1なので、Aは正則です。
次に、Aの逆行列を求めます。Aに単位行列を並べた拡大行列を作成し、行基本変形によってAを単位行列に変形します。このとき、単位行列だった部分がA^{-1}になります。
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
4 & 3 & 2 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
2行目から1行目の2倍を引き、3行目から1行目の4倍を引きます。
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0 \\
0 & -1 & -2 & -4 & 0 & 1
\end{array}\right]
2行目に-1をかけます。
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0 \\
0 & -1 & -2 & -4 & 0 & 1
\end{array}\right]
1行目から2行目を引き、3行目に2行目を加えます。
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0 \\
0 & 0 & -1 & -2 & -1 & 1
\end{array}\right]
3行目に-1をかけます。
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 1 & -1
\end{array}\right]
2行目から3行目を引きます。
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2 & 1 & -1
\end{array}\right]
3. **最終的な答え**
Aは正則であり、逆行列A^{-1}は次の通りです。
A^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 0 \\
0 & -2 & 1 \\
2 & 1 & -1
\end{array}\right]